一、選擇題(每小題6分，共42分)
1.(2010江蘇南通九校模擬，2)拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=1,則a的值為( )
A. B.- C.4 D.-4
答案：B
解析：y=ax2 x2= y,又準(zhǔn)線方程為y=1,故- =1,a=- .
2.(2010江蘇蘇州一模，5)拋物線y= x2的焦點坐標(biāo)是( )
A.(0， ) B.( ，0)
C.(1，0) D.(0，1)
答案：D
解析：y= x2 x2=4y,其焦點為(0，1).
3.(2010中科大附中模擬，7)已知拋物線的頂點為原點，焦點在y軸上，拋物線上點(m,-2)到焦點的距離為4，則m的值為( )
A.4 B.-2 C.4或-4 D.2或-2
答案：C
解析：設(shè)拋物線方程為x2=-2py,(p>0),則 -(-2)=4,p=4,故拋物線方程為x2=-8y,m2=-8×(-2),m=±4.
4.(2010湖北黃岡一模，11)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點作直線交拋物線于P(x1,y1)、Q(x2,y2)兩點，若x1+x2=3p，則|PQ|等于( )
A.4p B.5p C.6p D.8p
答案：A
解析：|PQ|=|PF|+|FQ|=x1+ +x2+ =x1+x2+p.又x1+x2=3p,故|PQ|=4p.
5.(2010江蘇南通九校模擬，9)已知點P(m,3)是拋物線y=x2+4x+n上距點?A(-2,0)最近一點，則m+n等于( )
A.1 B.3 C.5 D.7
答案：C
解析：由已知得P為拋物線的頂點(-2，3)，故3=(-2)2+4×(-2)+n,n=7,m+n=?-2+7=5.
6.(2010浙江聯(lián)考，7)一動圓圓心在拋物線x2=4y上，過點(0，1)且恒與定直線l相切，則直線l的方程為( )
A.x=1 B.x= C.y=-1 D.y=-
答案：C
解析：根據(jù)拋物線定義，圓心到焦點(0,1)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，故l為準(zhǔn)線y=-1.
7.(2010北京東城區(qū)一模，8)已知點P是拋物線y2=2x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點A的坐標(biāo)是A( ，4)，則|PA|+|PM|的最小值是( )
A. B.4 C. D.5
答案：C
解析：|PA|+|PM|=|PA|+|PM|+ - =|PA|+|PF|- ≥|AF|- = - = .
二、填空題(每小題5分，共15分)
8.過點(0，2)與拋物線y2=8x只有一個公共點的直線有_____________條.
答案：3
解析：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線，應(yīng)填3.
9.過拋物線y2=4x的焦點F，作傾角為 的弦AB，則AB的長是_____________.
答案：
解析：利用結(jié)論|AB|= .
10.(2010湖北十一校大聯(lián)考，16)設(shè)PQ是拋物線y2=2px(p>0)上過焦點F的一條弦，l是拋物線的準(zhǔn)線，給定下列命題：①以PF為直徑的圓與y軸相切;②以QF為直徑的圓與y軸相切;③以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切;④以PF為直徑的圓與y軸相離;⑤以QF為直徑的圓與y軸相交.則其中所有正確命題的序號是：________________________.
答案：①②③
解析：設(shè)P(x1,y1),PF中點為A( ),A到
到y(tǒng)軸的距離為 |PF|,故①正確;同理②也正確;又|PQ|=x1+x2+p，PQ的中點B( )到準(zhǔn)線的距離為 ,故③正確，④⑤錯誤.
三、解答題(11?13題每小題10分，14題13分，共43分)
11.已知拋物線y2=2px(p>0)，過焦點F的弦的傾斜角為θ(θ≠0),且與拋物線相交于A、B兩點.
(1)求證：|AB|= ;
(2)求|AB|的最小值.
(1)證明：如右圖，焦點F的坐標(biāo)為F( ,0).
設(shè)過焦點、傾斜角為θ的直線方程為y=tanθ•(x- ),與拋物線方程聯(lián)立，消去y并整理，得
tan2θ•x2-(2p+ptan2θ)x+ =0.
此方程的兩根應(yīng)為交點A、B的橫坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理，有x1+x2= .
設(shè)A、B到拋物線的準(zhǔn)線x=- 的距離分別為|AQ|和|BN|，根據(jù)拋物線的定義，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= .
(2)解析：因|AB|= 的定義域是0<θ<π，又sin2θ≤1，
所以，當(dāng)θ= 時，|AB|有最小值2p.
12.已知拋物線y2=2px(p>0)的一條焦點弦AB被焦點F分成m、n兩部分，求證： 為定值，本題若推廣到橢圓、雙曲線，你能得到什么結(jié)論?
解析：(1)當(dāng)AB⊥x軸時，m=n=p，
∴ = .
(2)當(dāng)AB不垂直于x軸時，設(shè)AB:y=k(x- ),
A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,
∴m= +x1,n= +x2.
將AB方程代入拋物線方程，得
k2x2-(k2p+2p)x+ =0,
∴
∴ =
= .
本題若推廣到橢圓，則有 = (e是橢圓的離心率);若推廣到雙曲線，則要求弦AB與雙曲線交于同一支，此時，同樣有 = (e為雙曲線的離心率).
13.如右圖，M是拋物線y2=x上的一點，動弦 ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且?|MA|=|MB|.
(1)若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值;
(2)若M為動點，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡方程.
(1)證明：設(shè)M(y02,y0)，直線ME的斜率為?k(k>0),則直線MF的斜率為-k，
直線ME的方程為y-y0=k(x-y02).
由 得
ky2-y+y0(1-ky0)=0.
解得y0•yE= ,
∴yE= ,∴xE= .
同理可得yF= ,∴xF= .
∴kEF= (定值).
(2)解析：當(dāng)∠EMF=90°時，∠MAB=45°，所以k=1，由(1)得E((1-y0)2,(1-y0))F((1+y0)2,-(1+y0)).
設(shè)重心G(x,y)，則有
消去參數(shù)y0,得y2= (x>0).
14.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知兩點M(1,-3)、N(5，1)，若點C滿足 =?t +(1-t) (t∈R),點C的軌跡與拋物線y2=4x交于A、B兩點.
(1)求證： ⊥ ;
(2)在x軸上是否存在一點P(m,0)，使得過點P任作拋物線的一條弦，并以該弦為直徑的圓都過原點.若存在，請求出m的值及圓心的軌跡方程;若不存在，請說明理由.
(1)證明：由 =t +(1-t) (t∈R)知點C的軌跡是M、N兩點所在的直線，故點C的軌跡方程是：y+3= •(x-1),即y=x-4.
由 (x-4)2=4x x2-12x+16=0.
∴x1x2=16，x1+x2=12，
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.
∴x1x2+y1y2=0.故 ⊥ .
(2)解析：存在點P(4，0)，使得過點P任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點.
由題意知：弦所在的直線的斜率不為零，
故設(shè)弦所在的直線方程為：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,
∴y1+y2=4k,y1y2=-16.
kOA•kOB= =-1.
∴OA⊥OB,故以AB為直徑的圓都過原點.
設(shè)弦AB的中點為M(x,y)，
則x= (x1+x2),y= (y1+y2).
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k•(4k)+8=4k2+8.
∴弦AB的中點M的軌跡方程為： 消去k，得y2=2x-8.
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圓錐曲線的由來
圓錐曲線是圓、橢圓、拋物線與雙曲線的總稱,它們都可以通過不經(jīng)過圓錐頂點的平面截圓錐面得到,圓錐曲線也因此而得名.
圓錐曲線是繼直線、圓以后人類認(rèn)識比較早的一類曲線.早在兩千多年前,古希臘的數(shù)學(xué)家就開始詳細(xì)研究圓錐曲線.他們曾用三種不同的圓錐面導(dǎo)出圓錐曲線,即用垂直于圓錐母線的平面截圓錐面,當(dāng)圓錐的頂角為直角、銳角或鈍角時,分別得到拋物線、橢圓和雙曲線.公元前3世紀(jì),希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(Apollonus)首次從一個對頂圓錐得到所有的圓錐曲線,并創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線理論.
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