一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題中只有一項符合題目要求)
1.設(shè)東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆犯饔?、3、3、4條路，只從一面上山，而從任意一面下山的走法最多，應(yīng)( )
A.從東邊上山 B.從西邊上山
C.從南邊上山D.從北邊上山
答案 D
2.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y=x2，值域為{1,4}的“同族函數(shù)”共有( )
A.7個B.8個
C.9個D.10個
答案 C
解析 由題意，問題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)定義域的個數(shù)：第一步，先確定函數(shù)值1的原象：因為y=x2，當(dāng)y=1時，x=1或x=-1，為此有三種情況：即{1}，{-1}，{1，-1};第二步，確定函數(shù)值4的原象，因為y=4時，x=2或x=-2，為此也有三種情況：{2}，{-2}，{2，-2}.由分步計數(shù)原理，得到：3×3=9個.選C.
3.5名學(xué)生相約第二天去春游，本著自愿的原則，規(guī)定任何人可以“去”或“不去”，則第二天可能出現(xiàn)的不同情況的種數(shù)為( )
A.CB.25
C.52D.A
答案 B
4.6個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為( )
A.40B.50
C.60D.70
答案 B
5.在航天員進行的一項太空實驗中，先后要實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有( )
A.24種B.48種
C.96種D.144種
答案 C
解析 當(dāng)A出現(xiàn)在第一步時，再排A，B，C以外的三個程序，有A種，A與A，B，C以外的三個程序生成4個可以排列程序B、C的空檔，此時共有AAA種排法;當(dāng)A出現(xiàn)在最后一步時的排法與此相同，故共有2AAA=96種編排方法.
6.有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法有( )
A.2520B.2025
C.1260D.5040
答案 A
解析 先從10人中選出2人承擔(dān)甲任務(wù)有C種選法，再從剩下的8人中選出2人分別承擔(dān)乙、丙任務(wù)，有A種選法，由分步乘法計數(shù)原理共有CA=2520種不同的選法.故選A.
7.有5列火車停在某車站并行的5條軌道上，若快車A不能停在第3道上，貨車B不能停在第1道上，則5列火車的停車方法共有( )
A.78種B.72種
C.120種D.96種
答案 A
解析 不考慮不能停靠的車道，5輛車共有5!=120種停法.
A停在3道上的停法：4!=24(種);B種停在1道上的停法：4!=24(種);
A、B分別停在3道、1道上的停法：3!=6(種).
故符合題意的停法：120-24-24+6=78(種).故選A.
8.已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，則自然數(shù)n等于( )
A.6B.5
C.4D.3
答案 C
解析 令x=1，得2n=16，則n=4.故選C.
9.6個人排隊，其中甲、乙、丙3人兩兩不相鄰的排法有( )
A.30種B.144種
C.5種D.4種
答案 B
解析 分兩步完成：第一步，其余3人排列有A種排法;第二步，從4個可插空檔中任選3個給甲、乙、丙3人站有A種插法.由分步乘法計數(shù)原理可知，一共有AA=144種.
10.已知8展開式中常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是( )
A.28B.38
C.1或38D.1或28
答案 C
解析 Tr+1=(-a)rCx8-2r，令8-2r=0?r=4.
∴T5=C(-a)4=1120，∴a=±2.當(dāng)a=2時，和為1;
當(dāng)a=-2時，和為38.
11.有A、B、C、D、E、F共6個集裝箱，準備用甲、乙、丙三輛卡車運送，每臺卡車一次運兩個，若卡車甲不能運A箱，卡車乙不能運B箱，此外無其他任何限制;要把這6個集裝箱分配給這3臺卡車運送，則不同的分配方案的種數(shù)為( )
A.168B.84
C.56D.42
答案 D
D
解析 分兩類：①甲運B箱，有C·C·C種;②甲不運B箱，有C·C·C.
∴不同的分配方案共有C·C·C+C·C·C=42種.故選D.
12.從2名女教師和5名男教師中選出三位教師參加2018年高考某考場的監(jiān)考工作.要求一女教師在室內(nèi)流動監(jiān)考，另外兩位教師固定在室內(nèi)監(jiān)考，問不同的安排方案種數(shù)為( )
A.30B.180
C.630D.1080
答案 A
解析 分兩類進行：第一類，在兩名女教師中選出一名，從5名男教師中選出兩名，且該女教師只能在室內(nèi)流動監(jiān)考，有C·C種選法;第二類，選兩名女教師和一名男教師有C·C種選法，且再從選中的兩名女教師中選一名作為室內(nèi)流動監(jiān)考人員，即有C·C·C共10種選法，∴共有C·C+C·C·C=30種，故選A.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)
13.已知(x+2)n的展開式中共有5項，則n=________，展開式中的常數(shù)項為________.(用數(shù)字作答)
答案 4 16
解析 ∵展開式共有5項，∴n=4，常數(shù)項為C24=16.
14.5個人排成一排，要求甲、乙兩人之間至少有一人，則不同的排法有________種.
答案 72
解析 甲、乙兩人之間至少有一人，就是甲、乙兩人不相鄰，則有A·A=72(種).
15.已知(x+1)6(ax-1)2的展開式中含x3項的系數(shù)是20，則a的值等于________.
答案 0或5
16.用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個.(用數(shù)字作答)
答案 14
解析 因為四位數(shù)的每個數(shù)位上都有兩種可能性，其中四個數(shù)字全是2或3的情況不合題意，所以適合題意的四位數(shù)有24-2=14個.
三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(10分)某書店有11種雜志，2元1本的8種，1元1本的3種，小張用10元錢買雜志(每種至多買一本，10元錢剛好用完)，求不同的買法有多少種(用數(shù)字作答).
解析 分兩類：第一類，買5本2元的有C58種;第二類，買4本2元的和2本1元的有C48×C23種.故共有C58+C48×C23=266種不同的買法種數(shù).
18.(12分)4個相同的紅球和6個相同的白球放入袋中，現(xiàn)從袋中取出4個球;若取出的紅球個數(shù)不少于白球個數(shù)，則有多少種不同的取法?
解析 依題意知，取出有4個球中至少有2個紅球，可分三類：①取出的全是紅球有C種方法;②取出的4個球中有3個紅球的取法有CC;③取出的4個球中有2個紅球的取法有CC種，由分類計數(shù)原理，共有C+C·C+C·C=115(種).
19.(12分)從1到6的六個數(shù)字中取兩個偶數(shù)和兩個奇數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).試問：
(1)能組成多少個不同的四位數(shù)?
(2)四位數(shù)中，兩個偶數(shù)排在一起的有幾個?
(3)兩個偶數(shù)不相鄰的四位數(shù)有幾個?(所有結(jié)果均用數(shù)值表示)
解析 (1)四位數(shù)共有CCA=216個.
(2)上述四位數(shù)中，偶數(shù)排在一起的有CCAA=108個.
(3)兩個偶數(shù)不相鄰的四位數(shù)有CCAA=108個.
20.(12分)已知(1+2)n的展開式中，某一項的系數(shù)恰好是它的前一項系數(shù)的2倍，而且是它的后一項系數(shù)的，試求展開式中二項式系數(shù)最大的項.
解析 由題意知展開式中第k+1項系數(shù)是第k項系數(shù)的2倍，是第k+2項系數(shù)的，
∴解得n=7.
∴展開式中二項式系數(shù)最大兩項是：
T4=C(2)3=280x與T5=C(2)4=560x2.
21.(12分)某單位有三個科室，為實現(xiàn)減負增效，每科室抽調(diào)2人，去參加再就業(yè)培訓(xùn)，培訓(xùn)后這6人中有2人返回原單位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，問共有多少種不同的安排方法?
解析 6人中有2人返回原單位，可分兩類：
(1)2人來自同科室：CC=6種;
(2)2人來自不同科室：CCC，然后2人分別回到科室，但不回原科室有3種方法，故有CCC·3=36種.
由分類計數(shù)原理共有6+36=42種方法.
22.(12分)10件不同廠生產(chǎn)的同類產(chǎn)品：
(1)在商品評選會上，有2件商品不能參加評選，要選出4件商品，并排定選出的4件商品的名次，有多少種不同的選
法?
(2)若要選6件商品放在不同的位置上陳列，且必須將獲金質(zhì)獎?wù)碌膬杉唐贩派�，有多少種不同的布置方法?
解析 (1)10件商品，除去不能參加評選的2件商品，剩下8件，從中選出4件進行排列，有A=1680(或C·A)(種).
(2)分步完成.先將獲金質(zhì)獎?wù)碌膬杉唐凡贾迷?個位置中的兩個位置上，有A種方法，再從剩下的8件商品中選出4件，布置在剩下的4個位置上，有A種方法，共有A·A=50400(或C·A)(種).
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