福建省廈門第一中學(xué)2012—2013學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二年數(shù)學(xué)試卷（理科） 2013.4第Ⅰ卷（共50分）一．選擇題：本小題共10小題，每小題5分，共50分。1．已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)等于A． B. C. D. 2．函數(shù)的 A．極小值為 B．極大值為 C．極小值為 D．極大值為 3．某市在一次降雨過(guò)程中,降雨量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為,則在時(shí)刻的降雨強(qiáng)度為 A. B. C. D. 4．已知的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如右圖所示，則的圖象只可能是A B C D5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足則A． B． C． D．在閉區(qū)間上的最小值是 A． B． C．　 D．7.曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的值為A. B. C. D. 8．若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．9. 已知函數(shù)，若，則是成立的 A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10.對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù),定義某種運(yùn)算當(dāng)都為偶數(shù)或奇數(shù)時(shí), ;當(dāng)中一個(gè)為奇數(shù),另一個(gè)為偶數(shù)時(shí), .則在上述定義下,集合中元素的個(gè)數(shù)為A. B. C. D. 第1頁(yè)（共4頁(yè)）第Ⅱ卷 （非選擇題共100分）二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。11．在復(fù)平面上，（按逆時(shí)針排序）的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為，，，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 ▲ 。12．等于 ▲ 。13．某班準(zhǔn)備了5個(gè)節(jié)目將參加廈門一中音樂廣場(chǎng)活動(dòng)（此次活動(dòng)只有5個(gè)節(jié)目），節(jié)目順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位、節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，則在這次活動(dòng)中節(jié)目順序的編排方案共有 ▲ 種。14．黑白兩種顏色的正六形地面磚塊按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第個(gè)圖案中有白色地面磚有 ▲ 塊.15.已知在不是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍為 ▲ 。 16.給出下面幾個(gè)推理：①由“”得到結(jié)論： 任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和；②由“三角形內(nèi)角和為”得到結(jié)論：直角三角形內(nèi)角和為；③由“正方形面積為邊長(zhǎng)的平方”得到結(jié)論：正方體的體積為棱長(zhǎng)的立方；④由“”推得。其中是演繹推理的序號(hào)是 ▲ 。三、解答題：本大題共6小題，共76分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，把解答過(guò)程填寫在答題卡的相應(yīng)位置。17．（本小題滿分12分）如圖，直線與相切于點(diǎn)（）求實(shí)數(shù)的值；（）與直線及圍成的圖形的面積。18．（本小題滿分12分）廈門市旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是元， 銷售價(jià)是元，月平均銷售件. 通過(guò)改進(jìn)工藝， 產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場(chǎng)分析的結(jié)果表明，如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為，那么月平均銷售量減少的百分率為,記改進(jìn)工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)是（元）.（）與的函數(shù)關(guān)系式；（），其中常數(shù) （Ⅰ）求的單調(diào);（Ⅱ）若有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍。gkstk20．（本小題滿分12分）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)。 (Ⅰ)求的最小值；(Ⅱ)求證：當(dāng)且時(shí)，。gkstk第3頁(yè)（共4頁(yè)）21．（本小題滿分14分）在數(shù)列中，。（Ⅰ）求，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并加以證明；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試比較與的大小，證明你的結(jié)論。gkstk22．（本小題滿分14分）已知函數(shù)，（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，對(duì)任意，且，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍。gkstk第4頁(yè)（共4頁(yè)）廈門一中2012-2013學(xué)年高二（上）期中考理科數(shù)學(xué)答題卷 題號(hào)選擇題填空題171819202122 總分得分二.填空題：11. ；12. ；13. ；14. ；15. ；16. 。三.解答題：17.(本題滿分12分)解：18.(本題滿分12分)解：第1頁(yè)（共4頁(yè)）19.(本題滿分12分)解：20.(本題滿分12分)解：第2頁(yè)（共4頁(yè)）21（本題滿分14分）解：第3頁(yè)（共4頁(yè)）22．（本題滿分14分）解：第4頁(yè)（共4頁(yè)）廈門一中2012—2013學(xué)年度第二學(xué)期期中考高二年理科數(shù)學(xué)試題參考解答 一、選擇題：每小題5分，滿分50分．1．B2．C3．D4．D5．A6．C7．D8．B9．C10．B二、填空題：每小題4分，滿分24分．11． 12． 13． 14． 15. 或 16. ②④ 三、解答題（本大題共六小題，滿分76分）17．（本題滿分12分）解: （）得，gkstk　　因?yàn)橹本�與拋物線相切，解得．（6分）解法2．設(shè)切點(diǎn)，由得，　　所以切線在點(diǎn)處的斜率為，因?yàn)榍芯�的斜率為，則，，又在拋物線上，所以，（3分）于是的坐標(biāo)為，因?yàn)樵谥本�s上，所以，．（6分）（II）（12分）18.（本題滿分12分）解: (1)改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為，月平均銷售量為件，則月平均利潤(rùn)（元）， （4分）所以，與的函數(shù)關(guān)系式為 . （5分）(2)由得，（舍）, （7分）當(dāng)時(shí)；時(shí)，所以，函數(shù) 在取得最大值. （11分）第1頁(yè)（共4頁(yè)）故改進(jìn)工藝后，產(chǎn)品的銷售價(jià)為元時(shí)，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大.（12分）19.（本題滿分12分）解：（I）（2分）由知，或；（3分）；（4分）綜上知，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為和，遞增區(qū)間為。（6分）（II）由（I）知，當(dāng)時(shí)，取得極大值。 （7分） 當(dāng)時(shí)，取得極小值。 （8分）由題設(shè)知w.或 （10分） 解得 ， 故的取值范圍是 （12分）gkstk20.（本題滿分12分）解：(Ⅰ)由得，（2分）令得，（3分）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，（4分）故當(dāng)時(shí)，有極小值也是最小值為。（6分）(Ⅱ) 設(shè)，則，（7分）由(Ⅰ) 及知有最小值（9分）于是對(duì)于，都有，所以在上遞增，（10分）而，從而對(duì)任意，，即。（12分）第2頁(yè)（共4頁(yè)）21.（本題滿分14分）解：(Ⅰ) 由，得（1分），同理可得，（2分），（3分），猜想（4分）。當(dāng)時(shí)，已證明；假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即則當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，猜想成立，故對(duì)任意，猜想成立（7分）。（Ⅱ）因?yàn)椋�所以，gkstk于是，當(dāng)時(shí)，，即（9分）。當(dāng)時(shí)，猜想，（10分）證明如下： 當(dāng)時(shí)，顯然假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，，而于是，所以，當(dāng)時(shí)，猜想成立，故當(dāng)時(shí)，。（14分）另證：設(shè)則，當(dāng)時(shí)，第3頁(yè)（共4頁(yè)）所以在上遞增在上遞增，所以，當(dāng)時(shí)，猜想成立，即當(dāng)時(shí)，。（14分）22.（本題滿分14分）解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域，（2分）當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)（3分）當(dāng)時(shí)，由解得；由解得，（4分）此時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)。（5分）（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，又函數(shù)在上是減函數(shù)，不妨設(shè)，則，所以等價(jià)于，即．（7分）設(shè)，gkstk則等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．（8分）于是即在時(shí)恒成立，（10分）從而在上恒成立，（11分）而函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以的最大值為．（12分）于是，又，所以．座位號(hào) 班級(jí) 座號(hào) 姓名 準(zhǔn)考證號(hào) 班級(jí) 座號(hào) 姓名 準(zhǔn)考證號(hào) 福建省廈門一中2012-2013年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)理試題
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