衡陽市八中2013年下期期中考試試題高 二 數(shù) 學(xué)（理） （時(shí)間：120分鐘 滿分100分）注意事項(xiàng)：答題前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、號(hào)寫在答的密封線內(nèi)．答題時(shí)，答案寫在答上對(duì)應(yīng)題目的內(nèi)，選擇題（每小題3分，共10小題，滿分30分）1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A． B． C． D．的漸近線方程為A． B． C． D．，其中正確的是 A． B． C． D．已知橢圓上的點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則到另一焦點(diǎn)距離為A． B． C． D．中，為與的交點(diǎn)。若，，則下列向量中與相等的向量是 A. B. C. D. 6.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么實(shí)數(shù)的值為 A． B． C． D．7.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，如果=8，那么＝ A.6 B.8 C.9 D.108.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，在下列條件中，成為的充分條件的是A.，在內(nèi)的射影分別為，且，，9.如圖,已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則等于A. B. C. D.10.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2) B. (1,2) C.[2, +∞) D.(2,+∞)填空題（每小題4分，共5小題，滿分20分）11.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是是單位正交基底，,，那么= .13. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上一點(diǎn)P使，則的面積是 .14.已知命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .15.拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)如圖所示的旋轉(zhuǎn)體，在此旋轉(zhuǎn)體內(nèi)水平放入一個(gè)正方體，使正方體的一個(gè)面恰好與旋轉(zhuǎn)體的開口面平齊，則此正方體的體積是 .三 解答題（共6小題，滿分50分）16.（本題滿分8分）設(shè)命題：方程沒有實(shí)數(shù)根.命題：方程表示的曲線是雙曲線.若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.（本題滿分8分）在平面直角坐標(biāo)系中,已知一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,且過. （1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.18.（本題滿分8分）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且與雙曲線實(shí)軸垂直，又拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為．求拋物線與雙曲線的方程.19.（本題滿分8分）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)． （1）求異面直線與所成角的余弦值； （2）求二面角的余弦值．20. （本題滿分8分）如圖，平面平面，是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，, 分別為的中點(diǎn)。（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值。21.（本題滿分10分）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切. （1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程； （2）設(shè)直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點(diǎn)，，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量？若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說明理由．答案DS衡陽市八中2013年下期期中考試試題高 二 數(shù) 學(xué)（理）命題人：周彥 仇武君 審題人：彭學(xué)軍 （時(shí)間：120分鐘 滿分100分）注意事項(xiàng)：答題前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考試號(hào)寫在答紙的密封線內(nèi)．答題時(shí)，答案寫在答紙上對(duì)應(yīng)題目的空格內(nèi)，的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ C ）A． B． C． D．的漸近線方程為（ D ）A． B． C． D．，其中正確的是（ C ） A． B． C． D．．已知橢圓上的點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則到另一焦點(diǎn)距離為（ ）A． B． C． D．中，為與的交點(diǎn)。若，，則下列向量中與相等的向量是（ A ） A. B. C. D. 6.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么實(shí)數(shù)的值為（ D ） A． B． C． D．7.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，如果=8，那么＝（ D ） A.6 B.8 C.9 D.108.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，在下列條件中，成為的充分條件的是A.，在內(nèi)的射影分別為，且，，9.如圖,已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則等于（ B ）A. B. C. D.10.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是 ( C )A.( 1,2) B. (1,2) C.[2, +∞) D.(2,+∞)填空題（每小題4分，共5小題，滿分20分）11.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是是單位正交基底，,，那么=.13. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上一點(diǎn)P使，則的面積是 9 .14.已知命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__.15.拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)如圖所示的旋轉(zhuǎn)體，在此旋轉(zhuǎn)體內(nèi)水平放入一個(gè)正方體，使正方體的一個(gè)面恰好與旋轉(zhuǎn)體的開口面平齊，則此正方體的體積是 8 .解析：以正方體與旋轉(zhuǎn)體的開口面平齊的面的對(duì)角線作垂直于水平面的截面，在正方體內(nèi)的截面為矩形ABCD，在拋物面上截得一條拋物線，如圖建立直角坐標(biāo)系，則AB為正方體的面對(duì)角線，AD為棱長(zhǎng)。設(shè)，則，于是，，故正方體體積為8.三 解答題（共6小題，滿分50分）16.（本題滿分8分）設(shè)命題：方程沒有實(shí)數(shù)根.命題：方程表示的曲線是雙曲線.若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析: 真， (2分) 真, (2分) 真真且真(1分) , 故.(3分)17.（本題滿分8分）在平面直角坐標(biāo)系中,已知一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,且過. （1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程. 解析：(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸,半焦距,則半短軸. (2分) 又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (2分) (2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為,點(diǎn)P的坐標(biāo)是， 由，得 (2分) 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,得, ∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是. (2分)18.（本題滿分8分）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且與雙曲線實(shí)軸垂直，又拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為．求拋物線與雙曲線的方程.解析：由題意知，拋物線焦點(diǎn)在軸上，開口方向向右，可設(shè)拋物線方程為，將交點(diǎn)代入得，故拋物線方程為. (4分) 雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則．又點(diǎn)也在雙曲線上，因此有．又，因此可以解得，因此，雙曲線的方程為．(4分)19.（本題滿分8分）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值； （2）求二面角的余弦值．解析：（1）； （2）平面，所以為平面的法向量， ，設(shè)平面法向量為，又，，由即，取， 所以,因二面角為銳角,故.20. （本題滿分8分）如圖，平面平面，是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，, 分別為的中點(diǎn)。（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值。解析：（1）證明：連接，分別是的中點(diǎn)， ．中，是的中點(diǎn)，，又平面平面，平面平面， 平面， ，平面．．，，， 設(shè)的法向量為，由，，取，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為．過點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切.（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程；（2）設(shè)直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點(diǎn)，，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量？若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說明理由．解析：（1）圓， 圓心的坐標(biāo)為，半徑.∵，∴點(diǎn)在圓內(nèi). 設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，即. ∴圓心的軌跡是中心在原點(diǎn)，以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓. 設(shè)其方程為, 則.∴.∴所求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為. (2)由 消去化簡(jiǎn)整理得：.設(shè)，，則.△. ① 由 消去化簡(jiǎn)整理得：. 設(shè)，則, △. ② ∵，∴，即， ∴.∴或.解得或. 當(dāng)時(shí),由①、②得 ， ∵Z,∴的值為 ，，; 當(dāng)，由①、②得 ， ∵Z,∴. ∴滿足條件的直線共有9條．湖南省衡陽八中2013-2014學(xué)年高二上學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)理）
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