2013——2014學(xué)年度上學(xué)期五校聯(lián)考高二期中考試數(shù)學(xué)試題（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、已知集合，，則 （ ）A、B、 C、 D、2、以下有關(guān)命題的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ） A、命題“若，則”的逆否命題為“若,則”B、若為假命題，則、均為假命題C、“”是“”的充分不必要條件D、對(duì)于命題，使得，則，則3、某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍。為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為（ ）A、9 B、18 C、27 D、364、已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且ka＋b與2a－b互相垂直，則k值是（ ）A、1 B、C、D、 在平行六面體中，設(shè)，則等于（　　）A、 B、 C、 D、6、若雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為(　　)A B、5 C、 D、27、對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，定義的算法原理如上右程序框圖所示。設(shè)為函數(shù)的最大值，為雙曲線的離心率，則計(jì)算機(jī)執(zhí)行該運(yùn)算后輸出結(jié)果是( )A、 B、 C、 D、8、已知曲線C：y＝2，點(diǎn)A(0，－2)及點(diǎn)B(3，a)，從點(diǎn)A觀察點(diǎn)B，要使視線不被曲線C擋住，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A(4，＋∞) B、(－∞，4] C(10，＋∞) D(－∞，10]9、拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F點(diǎn)A是兩曲線的交點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為 (　　)A、 B＋1 C＋1 D、10、棱長(zhǎng)均為1三棱錐，若空間一點(diǎn)P滿足，則的最小值為（　�。〢、 B、 C、 D、11、已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A1和A2，垂直于橢圓長(zhǎng)軸的動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為P1和P2，其中P1的縱坐標(biāo)為正數(shù)，則直線A1P1與A2P2的交點(diǎn)M的軌跡方程（ �。〢、 B、 C、 D、12、如圖，過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=16的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于P點(diǎn)，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 （　�。〢、 B、 C、 D、二、填空題：本大題共4小題，每小題分，共分（ ）, （ ）（）表示生成0到1之間的隨機(jī)數(shù),共做了次試驗(yàn)，其中有次滿足，則橢圓的面積可估計(jì)為 。（）表示生成0到1之間的隨機(jī)數(shù)14、有共同漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程是 。15、以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，若PA?PB=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；②過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；③拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是；④曲線與曲線（＜35且≠10）有相同的焦點(diǎn)．其中真命題的序號(hào)為　16、點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，則2x?y的最大值與最小值之比為　　　　三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1分），設(shè)命題p:函數(shù)在R上單調(diào)遞增；命題q:不等式對(duì)恒成立，若p且q為假，p或q為真，求a的取值范圍。18、（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離（12分）中，、、分別是角、、的對(duì)邊，且。(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若，，求△的面積。21、（12分）已知拋物線C：y2＝4x，直線l：y＝x＋b與C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(Ⅰ)當(dāng)直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F時(shí)，求AB；(Ⅱ)是否存在直線l使得直線OA、OB傾斜角之和為135°，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（12分）已知橢圓的焦距為4,且過(guò)點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)設(shè)為橢圓上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為.取點(diǎn),連接,過(guò)點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn).點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),作直線,問(wèn)這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)?并說(shuō)明理由2013——2014學(xué)年度上學(xué)期五校聯(lián)考高二期中考試數(shù)學(xué)試題（理科答案）一．選擇題：1.C；2.B；3.B；4.D；5.D；6.A；7.B；8.D；9.C；10.B；11.C；12.A．二．填空題：13． ； 14． ； 15． ③④； 16． .三、解答題：17、解：∵y=ax在R上單調(diào)遞增，∴a＞1；……………2分又不等式ax2-ax+1＞0對(duì)x∈R恒成立，∴△＜0，即a2-4a＜0，∴0＜a＜4，……………4分∴q：0＜a＜4．而命題p且q為假，p或q為真，那么p、q中有且只有一個(gè)為真，一個(gè)為假．①若p真，q假，則a≥4；……………6分②若p假，q真，則0＜a≤1．……………8分所以a的取值范圍為（0，1]∪[4，+∞）．……………10分18、解：方法一、（1）設(shè)AC∩BD=O，連OE，則OE//PB，∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角. ………2分在△AOE中，AO=1，OE=∴即AC與PB所成角的余弦值為.………6分 （2）在面ABCD內(nèi)過(guò)D作AC的垂線交AB于F，則.連PF，則在Rt△ADF中設(shè)N為PF的中點(diǎn)，連NE，則NE//DF，∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，從而NE⊥面PAC.∴N點(diǎn)到AB的距離，N點(diǎn)到AP的距離………12分方法二、（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1）， ………3分從而設(shè)的夾角為θ，則∴AC與PB所成角的余弦值為. ………6分 （Ⅱ）由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，O，z），則，由NE⊥面PAC可得，∴………10分即N點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為1，.…12分19、解： （Ⅰ）由余弦定理得，∴， ∴，∴．∵底面，底面，∴．又∵，∴平面，又平面，∴．6分（Ⅱ）已知，，由（Ⅰ）可知平面，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DB為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,，，，.8分設(shè)平面的法向量為，則，∴，令，∴可�。� 9分同理設(shè)平面的法向量為，則，∴．10分∴∴二面角的余弦值大小為．12分20、解：（1） ∴由正弦定理： ∴……………………………………………………3分 又∵ ∴ ∴ ………………………………………………………6分（2）∵………………………………………………8分 ∴ ∴ ∴………………………12分21、解: (1)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，代入直線y＝x＋b可得b＝－，………………………………………………1分∴l(xiāng)：y＝x－，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立，消去y得x2－18x＋1＝0，∴x1＋x2＝18，x1x2＝1， (方法一)AB＝?x1－x2＝?＝20. ………………………………………………4分(方法二)AB＝x1＋x2＋p＝18＋2＝20. ………………………………4分(2)假設(shè)存在滿足要求的直線l：y＝x＋b，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立，消去x得y2－8y＋8b＝0，∴y1＋y2＝8，y1y2＝8b， …………………………6分設(shè)直線OA、OB的傾斜角分別為α、β，斜率分別為k1、k2，則α＋β＝135°，tan(α＋β)＝tan135°?＝－1， ……………………8分其中k1＝＝，k2＝＝，代入上式整理得y1y2－16＋4(y1＋y2)＝0， ……………………………………10分∴8b－16＋32＝0，即b＝－2，………………………………………11分代入Δ＝64－32b＝128>0，滿足要求．綜上，存在直線l：y＝x－2使得直線OA、OB的傾斜角之和為135°.…12分22、解: (1)因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn) 且 橢圓C的方程是 …（4分）(2) 由題意,各點(diǎn)的坐標(biāo)如上圖所示, …（6分）則的直線方程: 化簡(jiǎn)得 …（8分）又, 所以帶入 得 …（11分）求得最后 所以直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn). …（12分） 每天發(fā)布最有價(jià)值的高考資源 每天發(fā)布最有價(jià)值的高考資源 每天發(fā)布最有價(jià)值的高考資源www.gkstk.comABCDPM第19題圖ABCDPMxyz遼寧省五校協(xié)作體2013-2014學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理試題
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