蘇南五校聯考2013-2014學年度第一學期期中考試 高 二 數 學 （文 科） 2013年11月注意事項：1．本試分填空題和解答題兩部分，共160分．考試用時120分鐘．2．答題前，考生務必將自己的、姓名、考試號寫在答題紙的密封線內．答題時，填空題和解答題的答案寫在答題紙上對應題目的空格內，答案寫在試卷上無效．本卷考試結束后，上交答題紙．3．一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．4．文字書寫題統(tǒng)一使用05毫米及05毫米以上簽字筆．5．作圖題可使用2B鉛筆，不需要用簽字筆描摹．參考公式：棱錐的體積公式 其中表示棱錐的底面積，表示棱錐的高 球的體積公式 其中表示球的半徑一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題紙相應位置上．1．的傾斜角 ▲ ．2．已知直線m、n與平面α、β，給出下列三個命題：若mα，nα，則mn；若mα，nα，則nm；若mα，mβ，則αβ．其中正確命題有個．．已知正方體的外接球的體積是π，則正方體的棱長等于4．已知點P是圓C：x上任意一點點關于直線2x＋y－1＝0的對稱點在圓上則實數a等于．已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B兩點，則直線AB的方程是6．經過,且在軸上的截距等于在軸上的截距的2倍的直線方程為 ▲ ．7．中,異面直線與所成的角為 ▲ ．8．兩條平行線l6y＝5間的距離為9．m，0到定點(0,2)，(1,1)距離之和的最小值是．中，點分別在上，且，，點到的距離之比為3：2，則三棱錐和的體積比= ___▲___. 11．12．④直線A1M//平面AB1C. 13．在平面直角坐標系xOy中，已知點，，，分別以△的邊向外作正方形與，則直線的一般式方程為 14．若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是15．已知直線l經過直線3x＋4y－2＝0與直線2x＋y＋2＝0的交點P，且垂直于直線x－2y－1＝0（1）求直線l的方程；求直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積S16．－17．，直線：；（1）求當直線與直線平行時實數的值；（2）求直線所過的定點（與的值無關的點）的坐標；（3）直線與線段（包含端點）相交，求實數的取值范圍．18.（本題滿分16分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CDAB， ，直線PA與底面ABCD成角60°，點MN分別是PA，PB的中點．（1）求證：MN平面PCD；MNCD是直角梯形；（3）求證：平面PCB ．19．，點．上，經過點，且與圓相切的圓的方程；（2）若過點的直線與圓交于兩點，且圓弧恰為圓周長的，求直線的方程．20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成，兩相接點M、N均在直線x＝5上，圓弧C1的圓心是坐標原點O，半徑為13，圓弧C2過點A(29,0)．(1)求圓弧C2的方程；(2)曲線C上是否存在點P，滿足PA＝PO？若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由；(3)已知直線l：x－my－14＝0與曲線C交于E、F兩點，當EF＝33時，求坐標原點O到直線l的距離．1． 2．2．．－10． x＋3y＝0． 7． ．． ． ． 12．13． 14．15解　(1)由 解得 .由于點P的坐標是(－2,2)．所求直線l與x－2y－1＝0垂直，可設直線l的方程為2x＋y＋C＝0.把點P的坐標代入得2×(－2)＋2＋C＝0，即C＝2.所求直線l的方程為2x＋y＋2＝0.(2)又直線l的方程2x＋y＋2＝0在x軸、y軸上的截距分別是－1與－2.則直線l與兩坐標軸圍成三角形的面積S＝×1×2＝1.∩平面BCC1B1＝BC，AD(平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1． …………………5分因為DC1(平面BCC1B1，所以AD⊥DC1． …………………7分（2）(證法一)連結A1C，交AC1于點O，連結OD， 則O為A1C的中點．因為D為BC的中點，所以OD//A1B． …………………11分因為OD平面ADC1，A1B平面ADC1， 所以A1B//平面ADC1． …………………14分(證法二)取B1C1的中點D1，連結A1D1，D1D，D1B．則D1C1BD．所以四邊形BDC1D1是平行四邊形．所以D1B// C1D．因為C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，所以D1B//平面ADC1．同理可證A1D1//平面ADC1．因為A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，所以平面A1BD1//平面ADC1． …………………11分因為A1B平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1． …………………14分17．（本小題滿分14分）解：（1）,得：平行時……………………4分（2），………………8分（3）斜率為；；…………10分如圖所示，，得或………………14分（沒有圖，扣2分）另解：直線與線段（包含端點）相交，則： 即，得或；18.（本題滿分16分）證明：點M，N分別是PA，PB的中點MN∥AB．…………………2分CD∥AB，所以MN∥CD．又CD 平面CD， MN 平面CD，所以MN平面CD. ……5分（2）AD⊥AB，CD∥AB，CD⊥AD，又因為PD⊥底面ABCD平面ABCD，所以CD⊥PD，又，所以CD⊥平面PAD．……………8分平面PAD，所以CD⊥MD，所以四邊形MNCD是直角梯形．分PD⊥底面ABCD直線PA與底面ABCD成 ． …………………………12分△中，，，，．在直角梯形MNCD中，，，，，從而，所以DN⊥CN． …………………………14分△中，PD= DB=， N是PB的中點PB．……15分，所以平面PCB ．分19．解（Ⅰ）由，得 所以圓C的圓心坐標為C(-5，-5) 又圓N的圓心在直線y=x上，當兩圓外切于O點時，，則有解得a=3所以圓心坐標 (3，3)，半徑圓N的方程為．當兩圓內切M，M點坐標為（-10，-10）因為線段AM的中點為（-5，-2），所以AM的中垂線方程為，即解方程組所求圓的圓心坐標為，故圓N的方程為．圓N的方程為．(Ⅱ)因為圓弧PQ恰為圓周的， 所以 所以點C到直線的距離為5當直線的斜率不存在時，點C到y(tǒng)軸的距離為5直線即y軸所以此時直線的方程為x=0．當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即所以解得所以此時直線的方程為所求直線的方程為x=0或．．(1)圓弧C1所在圓的方程為x2＋y2＝169.令x＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)．則線段AM的中垂線的方程為y－6＝2(x－17)．令y＝0，得圓弧C2所在圓的圓心為O2(14,0)，又圓弧C2所在圓的半徑為r2＝29－14＝15，所以圓弧C2的方程為(x－14)2＋y2＝225(x≥5)．(2)假設存在這樣的點P(x，y)，則由PA＝PO，得x2＋y2＋2x－29＝0.由解得x＝－70(舍)．由解得x＝0(舍)．綜上知這樣的點P不存在．(3)因為EF＞2r2，EF＞2r1，所以E、F兩點分別在兩個圓弧上．設點O到直線l的距離為d.因為直線l恒過圓弧C2所在圓的圓心(14,0)，解法一：所以EF＝15＋＋，即＋＝18，解得d2＝.所以點O到直線l的距離為.解法二：同理科- 1 -D1B1A1D1C1B1DCBA1DCBAA（第16題圖）C1B1A1DCBAO(第16題)（第16題圖）C1B1A1DCBAC1M江蘇省蘇南五校2013-2014學年度高二第一學期期中聯考數學（文）試題（有答案）
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