2013年12月南山中學(xué)2015級(jí)12月模擬考試（理科）數(shù)學(xué)試題題卷命題：周莉莎 審題：羅偉考生注意：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿(mǎn)分120分，考試時(shí)間100分鐘.選擇題用2B鉛筆填涂，其余題用0.5毫米黑色墨水簽字筆作答.第Ⅰ卷（共40分）一、選擇題（本大題有10個(gè)小題，每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)正確，請(qǐng)把正確選項(xiàng)涂在機(jī)讀卡上.每小題選正確得4分，共40分.）1.直線(xiàn)的傾斜角為（　）A．　　 　B． C． D．2.（�。〢．　　B．C．D．3.《幾何原本》的作者是（�。〢.歐幾里得 B.阿基米德 C.阿波羅尼奧斯 D.托勒玫4.將點(diǎn)的直角坐標(biāo)(－2，2)化是正值，極角在0到之間的極坐標(biāo)是（�。〢．(4，)B．(4，)C．(4，)D．(4，)5. 已知，則方程表示的平面圖形是（�。�6．如果執(zhí)行圖1的框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)等于（　）. B. C. D. 7.圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（�。〢． B． C． D．過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于AB兩點(diǎn),使點(diǎn)P為AB中點(diǎn),則這樣的直線(xiàn)（�。〢．存在一條,且方程為B．存在無(wú)數(shù)條C．存在兩條,方程為D．不存在上到直線(xiàn)的距離為的點(diǎn)共（　）A．　　B．C．D．10.下列三圖中的多邊形均為正多邊形，M、N是所在邊上的中點(diǎn)，雙曲線(xiàn)均以圖中的F1、F2為焦點(diǎn)，設(shè)圖①、②、③的雙曲線(xiàn)的離心率分別為e1，e2，e3，則（�。� A．e1＞e2＞e3 B． e1＜e2＜e3 C． e1＝e3＜e2 D．e1＝e3＞e2 II卷（共80分）二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分.）11.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)的距離是 .12.經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸的截距相等的直線(xiàn)方程是 . (用一般式方程表示)13某同學(xué)在四次語(yǔ)文單元測(cè)試中，其成績(jī)的莖葉圖如圖所示，則該同學(xué)語(yǔ)文成績(jī)的方差 .( 第13題圖) (第14題圖)14. 如上圖，某人向圓內(nèi)投鏢，如果他每次都投入圓內(nèi)，那么他投中正方形區(qū)域的概率為 .15.給出下列結(jié)論：①與圓及圓都外切的圓的圓心在一個(gè)橢圓上.②若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)則.③經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，且,則.④拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為.其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .三、解答題（本大題共4個(gè)小題，共40分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）16.(10分) 在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓與直線(xiàn)：相切求圓的方程；若圓上有兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且，求直線(xiàn)的方程.17.（10分） 某校從高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的單元測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)（滿(mǎn)分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：后得到如圖所示的頻率分布直方圖.若該校高二年級(jí)共有學(xué)生640人，試估計(jì)該校高二年級(jí)本次單元測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)；若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诤蛢蓚�(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的概率.18.（10分）如圖：已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交兩點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.求的值；求的面積.19.（10分）已知圓,坐標(biāo)原點(diǎn)為.圓上任意一點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，已知向量.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)S (0，－)的動(dòng)直線(xiàn)l交于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)?若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．附加題：20.在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個(gè)定點(diǎn)A1(－2,0)，A2(2,0)，再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝3.(1)求直線(xiàn)A1N1與A2N2交點(diǎn)的軌跡M的方程；(2)已知點(diǎn)A(1，t)(t>0)是軌跡M上的定點(diǎn)，E，F(xiàn)是軌跡M上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線(xiàn)AE的斜率kAE與直線(xiàn)AF的斜率kAF滿(mǎn)足kAE＋kAF＝0，試探究直線(xiàn)EF的斜率是否是定值？若是定值，求出這個(gè)定值，若不是，說(shuō)明理由．,當(dāng)?shù)娜≈底兓瘯r(shí)，關(guān)于的方程的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，這無(wú)數(shù)條直線(xiàn)形成了一個(gè)直線(xiàn)系，記集合{僅有唯一直線(xiàn)}.(1)求中點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè){為常數(shù)}，任取,如果的最小值為，求的值.南山中學(xué)2015級(jí)12月模擬考試 數(shù)學(xué)(理)答題卷 題號(hào)二1617181920 21總分分?jǐn)?shù)二、填空題：本大題共小題，每小題分，共分．把答案填在題中橫線(xiàn)上．1． ．12． ．1． ．14． ．15． ．三、解答題：本大題共小題，共分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．得 分評(píng)卷人　　16．（本題滿(mǎn)分分）得 分評(píng)卷人1．（本題滿(mǎn)分分）得 分評(píng)卷人．（本題滿(mǎn)分分）得 分評(píng)卷人．（本題滿(mǎn)分分）得 分評(píng)卷人．（ 本題滿(mǎn)分1分）得 分評(píng)卷人．（本題滿(mǎn)分分）一、選擇題（本大題有10個(gè)小題，每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)正確，請(qǐng)把正確選項(xiàng)涂在機(jī)讀卡上.每小題選正確得4分，共40分.）1~5：CDAAD; 6~10：BBDBC二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分.把答案填在題中橫線(xiàn)上.）11.； 12.或； 13. 45； 14. ； 15.②④三、解答題（本大題共4個(gè)小題，共40分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）16.解（1）直線(xiàn)與圓相切 == 的方程為：……………………………………………………….…(4分)（2）關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) 可設(shè)所在的直線(xiàn)方程為：…………………………………………….(5分)到的距離為1………………………………………………………………………….(7分)即直線(xiàn)的方程為：…………………........…(10分)17.解:由頻率分布直方圖已知（1）不低于60分的學(xué)生所占的頻率為：不低于60分人數(shù)為：6400.85=544（人）………………………………………………...(2分)（2）第一組的學(xué)生人數(shù)為：0.0540=2（人），記為……………………………...(3分)第六組的學(xué)生人數(shù)為：0.140=4（人），記為………………………..…..(4分)則從這兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2人所包含的基本事件有：,,,,,,,,,,,,,,共15種.設(shè)“這兩名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10”為事件事件所包含的的基本事件有：,,,,,,共7種.…………………………………………………………………………………….…….(10分)18.解（1） 又 直線(xiàn)的方程為.………………………………………………………………….…(1分)設(shè),,則由…………………….…(2分)又聯(lián)立方程 消可得 ①, ………………………………………………………….……….…(3分)當(dāng)時(shí)，方程①成為 顯然此方程有解. ……… ….…(5分)(2)法一:由 .………....…(7分).…………………………………………………………………………………………...…(8分) ………………………………….......….…(10分)法二:后面做法同法一.19.解（1）設(shè),, 又在圓上軌跡的方程為即…………………………….………………………(4分)（2）當(dāng)時(shí)，軌跡的方程為（?）當(dāng)與軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為當(dāng)與軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為由解得即兩圓相切于點(diǎn)(0,1)，……………………..……………(6分)因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是(0,1)．事實(shí)上，點(diǎn)T(0,1)就是所求的點(diǎn)，證明如下：當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T(0,1)．若直線(xiàn)l不垂直于x軸，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx－，由消去y得(18k2＋9)x2－12kx－16＝0. 設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則又因?yàn)椋?x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，所以?＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋＝(1＋k2)?－k?＋＝0，所以TATB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T(0,1)，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(0,1)滿(mǎn)足條件.…………………………………………………(10分)20.解　(1)依題意知直線(xiàn)A1N1的方程為：y＝(x＋2)，直線(xiàn)A2N2的方程為：y＝－(x－2)，設(shè)Q(x，y)是直線(xiàn)A1N1與A2N2交點(diǎn)，×②得y2＝－(x2－4)，由mn＝3，整理得＋＝1，N1，N2不與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A1(－2,0)，A2(2,0)不在軌跡M上，軌跡M的方程為＋＝1(x≠±2)，…………………………………………………………………(3分)(2)∵點(diǎn)A(1，t)(t>0)在軌跡M上，＋＝1解得t＝，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)kAE＝k，則直線(xiàn)AE方程為：y＝k(x－1)＋，代入＋＝1并整理得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0，設(shè)E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF)，點(diǎn)A在軌跡M上，xE＝，yE＝kxE＋－k，又kAE＋kAF＝0得kAF＝－k，將、式中的k代換成－k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k，直線(xiàn)EF的斜率kEF＝＝，xE＋xF＝，xF－xE＝，kEF＝＝＝，即直線(xiàn)EF的斜率為定值，其值為.…………………………………………………………..………(10分)21.解(1)由題意易知，僅有唯一解所求的軌跡方程為.……………………………………………………..……………(3分)（2）設(shè)直線(xiàn)與軌跡相切，則由 消可得 即的最小值為.……………………………………………………………....…………………(10分)！第1頁(yè) 共13頁(yè)學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)��！南山中學(xué)2015級(jí)12月模擬考試（理科）數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分細(xì)則（僅供參考）　　　 班級(jí) 姓名 考號(hào) — — — — — — — — — — — — — —密— — — — — — — — — —封— — — — — — — — — —線(xiàn)— — — — — — — — — — — — 一 11 412 6 813 2四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)2013-2014學(xué)年高二上學(xué)期12月月考試題 數(shù)學(xué)（理）
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