太和二中趙玉苗整理發(fā)布
一.選擇題
1. 函數(shù)y=xcosx + sinx 的圖象大致為
（A） （B） (C) (D)
2. 拋物線C1：y= x2(p＞0)的焦點與雙曲線C2： 的右焦點的連線交C1于第一象限的點.若C1在點處的切線平行于C2的一條漸近線，則p= ( D )
A. B. C. D.
3. 下面是關(guān)于公差 的等差數(shù)列 的四個命題，其中正確為（ D ）
數(shù)列 的遞增數(shù)列； 數(shù)列 的遞增數(shù)列；
數(shù)列 的遞增數(shù)列； 數(shù)列 的遞增數(shù)列；
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
4. 在 中，內(nèi)角 ， ， 所對邊的長分別為 ， ， ，若 ，且 ，則角 的大小為（ A �。�
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
5. 使 得展開式中含有常數(shù)項的最小的 為（ B �。�
Ａ.4 Ｂ.5 Ｃ.6 Ｄ.7
6. 已知點 ， ， 。若△ 為直角三角形，則必有（ C �。�
Ａ. Ｂ.
Ｃ. Ｄ.
7. 將函數(shù)y=sin（2x + ）的圖像沿x軸向左平移 個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖像，則 的一個可能取值為 （ B �。�
�。ˋ） （B） （C）0 （D）
8. 給定兩個命題p、q，若?p是q的必要而不充分條件，則p是?q的 （ B �。�
�。ˋ）充分而不必條件 （B）必要而不充分條件
�。–）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
9. 用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為 （ B �。�
�。ˋ）243 （B）252 （C）261 （D）279
10. 設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線 － ＝１（a＞0，b＞0）的焦點，若在雙曲線上存在點P，滿足∠F1P F2=60°， = a，則該雙曲線的漸近線方程為（ D�。�
（A）x± y=0（B） x±y=0
（C） x± y=0（D） x±y=0
二.填空題
11. 已知向量 與 的夾角為 ，且 若 且 ,則實數(shù) 的值為 【答案】
12. 定義“正對數(shù)”： ，現(xiàn)有四個命題：
①若 ，則 ; ②若 ，則
③若 ，則 ; ④若 ，則
其中的真命題有： （寫出所有真命題的編號） 【答案】①③④
13. 拋物線 在 處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為 (包含三角形內(nèi)部和邊界) ．若點 是區(qū)域 內(nèi)的任意一點，則 的取值范圍是 ．【答案】[?2，12 ]
14. 在平面直角坐標系 中，設(shè)定點 ， 是函數(shù) （ ）圖象上一動點，
若點 之間的最短距離為 ，則滿足條件的實數(shù) 的所有值為 ．【答案】1或
15. 已知 的定義域為R的偶函數(shù)，當 時， ，那么，不等式 的解集是_________________
三.解答題
16. （本小題滿分12分）已知 ， ．
（1）若 ，求證： ；
（2）設(shè) ，若 ，求 的值．
解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
a－b2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα?cosβ＋sinα?sinβ)＝2，
所以，cosα?cosβ＋sinα?sinβ＝0，
所以， ．
（2） ，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12 ．
所以，α－β＝ ，α＝ ＋β，
帶入②得：sin( ＋β)＋sinβ＝ cosβ＋12 sinβ＝sin( ＋β)＝1，
所以， ＋β＝ ．
所以，α＝ ，β＝ ．
17. （本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐 中，平面 平面 ， ， ，過 作 ，垂足為 ，點 分別是棱 的中點．求證：
（1）平面 平面 ；
（2） ．
證：（1）因為SA＝AB且AF⊥SB，
所以F為SB的中點．
又E，G分別為SA，SC的中點，
所以，EF∥AB，EG∥AC．
又AB∩AC＝A，AB 面SBC，AC 面ABC，
所以，平面 平面 ．
（2）因為平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF 平面ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面SBC．
又BC 平面SBC，
所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以，BC⊥平面SAB．
又SA 平面SAB，
所以， ．
18. （本小題滿分12分）
設(shè) 是首項為 ，公差為 的等差數(shù)列 ， 是其前 項和．記 ，
，其中 為實數(shù)．
（1）若 ，且 成等比數(shù)列，證明： （ ）；
（2）若 是等差數(shù)列，證明： ．
證：（1）若 ，則 ， ， ．
當 成等比數(shù)列， ，
即： ，得： ，又 ，故 ．
由此： ， ， ．
故： （ ）．
（2） ，
． (※)
若 是等差數(shù)列，則 型．
觀察(※)式后一項，分子冪低于分母冪，
故有： ，即 ，而 ≠0，
故 ．
經(jīng)檢驗，當 時 是等差數(shù)列．
19. （本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù) ， ，其中 為實數(shù)．
（1）若 在 上是單調(diào)減函數(shù)，且 在 上有最小值，求 的取值范圍；
（2）若 在 上是單調(diào)增函數(shù)，試求 的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．
解：（1） ≤0在 上恒成立，則 ≥ ， ．
故： ≥1．
，
若1≤ ≤e，則 ≥0在 上恒成立，
此時， 在 上是單調(diào)增函數(shù)，無最小值，不合；
若 ＞e，則 在 上是單調(diào)減函數(shù)，在 上是單調(diào)增函數(shù)， ，滿足．
故 的取值范圍為： ＞e．
（2） ≥0在 上恒成立，則 ≤ex，
故： ≤1e ．
．
(?)若0＜ ≤1e ，令 ＞0得增區(qū)間為(0，1a )；
令 ＜0得減區(qū)間為(1a ，?∞)．
當x→0時，f(x)→?∞；當x→?∞時，f(x)→?∞；
當x＝1a 時，f(1a )＝?lna－1≥0，當且僅當 ＝1e 時取等號．
故：當 ＝1e 時，f(x)有1個零點；當0＜ ＜1e 時，f(x)有2個零點．
(?)若a＝0，則f(x)＝?lnx，易得f(x)有1個零點．
(?)若a＜0，則 在 上恒成立，
即： 在 上是單調(diào)增函數(shù)，
當x→0時，f(x)→?∞；當x→?∞時，f(x)→?∞．
此時，f(x)有1個零點．
綜上所述：當 ＝1e 或a＜0時，f(x)有1個零點；當0＜ ＜1e 時，f(x)有2個零點．
20. 現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答.
（I）求張同學至少取到1道乙類題的概率；
（II）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設(shè)張同學答對甲類題的概率都是 ，答對每道乙類題的概率都是 ，且各題答對與否相互獨立.用 表示張同學答對題的個數(shù)，求 的分布列和數(shù)學期望.
21. 已知是非零實數(shù)，拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F在直線l：x－y－ ＝0上．
（Ⅰ）若＝2，求拋物線C的方程;
（Ⅱ）設(shè)直線l與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的準線的垂線，垂足為A1，B1，△AA1F，△BB1F的重心分別為G，H．求證：對任意非零實數(shù)，拋物線C的準線與
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