余姚中學(xué) 高二數(shù)學(xué)期中考試試卷（理科） 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1 . 若,則直線的傾斜角的取值范圍是（ ） A. B. C. D.2 . 已知向量,,且與互相垂直，則的值是 ( )A.1B. C. D.3．已知點(diǎn)M是直線l：2x－y－4＝0與x軸的交點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作直線l的垂線，得到的直線方程是(　　)A．x－2y－2＝0 B．x－2y＋2＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 某三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖如圖1所示，則該三棱錐的體積為(　　)圖1A．4 B．8C．12 D．24下列命題中錯(cuò)誤的是A. 如果平面平面，平面平面，，那么如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面如果平面平面，過(guò)內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，那么此垂線必垂直于，則直線與橢圓的位置關(guān)系是 ( )A.相交B.相切 C.相離 D.以上三種情況均有可能7．已知l，m是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，給出下列條件，能得到α∥β的是 (　　)A．lα，lβ B．αγ，βγ C．mα，lα，mβ，lβ D．lα，mβ，lm8．已知是平面上不共線的三點(diǎn)，是三角形的重心，動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)一定為三角形的（ ） A.邊中線的中點(diǎn) B.邊中線的三等分點(diǎn)（非重心） C.重心 D.邊的中點(diǎn)9．是雙曲線：（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)．若 則雙曲線的離心率為 ( ) …gkstkA． B． C．2 D．10．單位正方體在一個(gè)平面內(nèi)的投影面積的最大值和最小值分別為（�。〢. B. C. D.二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）11 . 在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是 . 12 . 直線經(jīng)過(guò)橢圓 (a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn),則該橢圓的離心率等于. 13 . 正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是A1C1的中點(diǎn)，則O到平面ABC1D1的距離為，到直線：的距離相等，則實(shí)數(shù)的值等于 . 15．已知直線的方向向量是，平面的法向量分別是若且，則與的關(guān)系是：的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，分別與兩漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為 . 17．棱長(zhǎng)為的正在空間直角坐標(biāo)系中移動(dòng)，但保持點(diǎn)分別在軸、軸上移動(dòng)，則原點(diǎn)的最距離為已知圓，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，、分別切圓于、 兩點(diǎn).（1）如果=，求直線的方程；（2）求動(dòng)弦的中點(diǎn)的軌跡方程.19.（本題滿分14分）在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點(diǎn)．(1)求證：BD⊥EG；()求二面角C－DF－E的余弦值．的三棱柱中，側(cè)面底面，．（1）求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大�。唬�2） 已知點(diǎn)滿足，在直線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21. （本題滿分15分）已知橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與平行的直線與橢圓交于點(diǎn)，求證：為定值．22. （15分）如圖，是離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線：將線段分成兩段，其長(zhǎng)度之比為．設(shè)是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的中垂線與C交于兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線上．（） 求橢圓的方程；（） 求的取值范圍．余姚中學(xué) 高二數(shù)學(xué)期中考試試卷（理科） 一、DCCAD,ADBAA.二．11. 12. 13. 14. 或 15. 與重合.16. 或 17.三、解答題：18 .答：（1）∵ ∴∴ ∴ ∴ -------------（3分）∴直線的方程為 -…gkstk ---------------（7分）（2）設(shè)∵，弦的中點(diǎn)為∴ ∴∴ ∴ ---------------------------------------（14分）19.(1)證明：EF⊥平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EF⊥AE，EFBE.又AEEB，EB，EF，EA兩兩垂直．以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，EF，EA分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(xiàn)(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)．＝(2,2,0)，＝(－2,2,2)．?＝－2×2＋2×2＝0.⊥. …………………………………………（7分）(2)由已知得＝(2,0,0)是平面EFDA的一個(gè)法向量．設(shè)平面DCF的法向量為n＝(x，y，z)，＝(0，－1,2)，＝(2,1,0)，即令z＝1，得n＝(－1,2,1)．設(shè)二面角C－DF－E的大小為θ，則cosθ＝cos〈n，〉＝－＝－.二面角C－DF－E的余弦值為－.底面，作于點(diǎn)，∴平面.又，且各棱長(zhǎng)都相等，∴，，. ---------（2分）故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，．--（4分）設(shè)平面的法向量為，則 解得. ---（6分）由． 而側(cè)棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角，∴側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小為． -------（8分）(2)∵，而 ∴又，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為． -------（10分）假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，∴．∵，為平面的法向量，由，得． --------（12分）又平面，故存在點(diǎn)，使，其坐標(biāo)為，即恰好為點(diǎn)． --------（14分）21. 解：（1），設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦為，將代入橢圓方程，解得， …………（2分）故，可得． …………（4分）所以，橢圓方程為． ………（6分）（2）由題意知，直線斜率存在，故設(shè)為，則直線的方程為，直線的方程為．可得，則． …………（8分）設(shè)，，聯(lián)立方程組，消去得：，…gkstk，， 則． ……（11分）設(shè)與橢圓交另一點(diǎn)為，，聯(lián)立方程組，消去得，，所以． …………（13分）故．所以等于定值． ------------（15分）22.．解：（）設(shè)F2（c，0），則=，所以c=1．因?yàn)殡x心率e=，所以a=，所以b=1所以橢圓C的方程為． （6分）（）當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，直線AB方程為x=?，此時(shí)P（，0）、Q（，0），．當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的斜率為k，M（?，m） （m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，則?1+4mk=0，∴k=此時(shí)，直線PQ斜率為k1=?4m，PQ的直線方程為，即y=?4mx?m．聯(lián)立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2?2=0．所以，．于是=（x1?1）（x2?1）+y1y2=x1x2?（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）===．令t=1+32m2，1＜t＜29，則．又1＜t＜29，所以．綜上，的取值范圍為[?1，）．（15分）yBDFCGAEzx2103學(xué)年度第一學(xué)期（第20題）BDFCGAEF2F1BAOyx2103學(xué)年度第一學(xué)期浙江省余姚中學(xué)2015-2016學(xué)年高二上學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)理）
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