云南省個舊市2015-2016學年高二上學期期末考試數學（理）試題滿分150分，考試時間120分鐘一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．已知集合，，則 ． ． ． ．【答案】．【解析】，所以；故選．2．若，，則．， ．， ．， ．，【答案】源【解析】由，由；故選．3．設等差數列的前項和為，是方程的兩個根，． ． ． ．【答案】．【解析】、是方程的兩個根，＋＝1，故選．4．設是所在平面內的一點，，則． ． ． ． 【答案】．【解析】∵，∴，即故選．5．已知函數的圖象恒過點，角的終邊過點，則． ． ． ． 【答案】．源【解析】函數的圖象恒過點得函數的圖象恒過點，又角的終邊過點，所以，而，所以由三角函數的定義得：；故選．6．已知，是兩條不同直線，，是兩個不同平面，給出四個命題： ①若，，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則．其中正確的命題是．①② ．②③ ．①④ ．②④【答案】．①、④錯；故選．7．已知等比數列的公比，其前項和，則等于．．．．【答案】．【解析】故選．右圖是函數在一個周期內的圖象，此函數的解析式可為． ． ． ．【答案】．【解析】由于最大值為，所以；又∴，將代入得，結合點的位置，知，∴函數的解析式為可為故選．9． 若，滿足約束條件，則目標函數的最大值是． ． ． ．【答案】．【解析】實數，滿足不等式組則可行域如圖，作出，平移，當直線通過時， 的最大值是故選．．與圓，：都相切的直線有．1條 ．2條 ．3條 ．4條【答案】．【解析】已知圓化為標準方程形式：：；：；兩圓心距等于兩圓半徑差，故兩圓內切；它們只有一條公切線．故選．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的． ． ． ． 【答案】．【解析】框圖運算的結果為： ．過點和點，則直線的斜率的最大值為．．．．【答案】．【解析】，則點是圓上的動點，過點，的直線的斜率的最大值為直線與圓相切時的斜率的最大值；設切線方程為即，則圓心到直線的圓距離為；即或舍去；故選．二．填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）．13．已知函數　，則不等式的解集是　　 　 　�！敬鸢浮� 【解析】∵，若，則若，則∴ 不等的解集是． 14．中，，，則數列的通項公式是 【答案】【解析】得： ，∴15．在中，角所對的邊分別為，若，，則【答案】 【解析】依題意， ，由余弦定理，∵ ， ∴．16． ①若，，則 ；②若與函數，的圖像分別交于點，，則的最大值為；③ 若數列為單調遞增數列，則取值范圍是；④若直線的斜率，則直線的傾斜角；其中真命題的序號是：_________．【答案】【解析】，，則，所以成立；對于②，，故②正確；對于③，恒成立，故③不正確；對于④，由傾斜角，故④不成立，故正確的有①②．三．解答題（本大題共6小題，滿分0分．解答應寫出文字說明．證明過程或演算步驟）．17．（本題1分）已知向量，，且，其中、、是的內角，分別是角，，的對邊．（Ⅰ）求角的大��；（Ⅱ）求的最大值.【解析】（Ⅰ）由得 （分）由余弦定理 （分）又，則 （分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，則（分） ∴ ∴ （分）∴ 即最大值（分）18．（本題1分）某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數學成績(均為整數)分成六組，，，后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題．（Ⅰ）求分數在內的頻率；（Ⅱ）用分層抽樣的方法在分數段為的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分數段的概率．【解析】（Ⅰ）分數在內的頻率為： （分）（Ⅱ）由題意，分數段內的人數為人；分數段內的人數為人，（分）用分層抽樣的方法在分數段的學生中抽取一個容量為的樣本，需在分數段內抽取人，并記為；在分數段內抽取人，并記為；（分）設“從樣本中任取2人，至多有1人在分數段內”為事件，則基本事件共有：，，，，，，，，，，，，，，共個；其中至多有1人在分數段內的基本事件數有：，，，，，，，，共個；∴ （12分）19．（本題1分）在三棱錐中，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，，當三棱錐的體積最大時，求的長．【解析】（Ⅰ）證明：∵∴， （1分）∵，∴ （2分）∵，∴ （分）∵，∴，∴， （分）∵，∴平面平面； （分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵，， （分）設，則 （分） （分）∴ （1分）當且僅當即時取等號； （分）∴當三棱錐的體積最大時，的長為． （12分）20．（本題1分）已知為銳角，且，函數，數列的首項.（Ⅰ）求函數的表達式； （Ⅱ）求數列的前項和.【解析】（Ⅰ） 又∵為銳角∴ ∴ （分） （1分）兩式相減，得 （1分） （12分）21．（本題1分）某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本(萬元)與年產量(噸)之間的函數關系式可以近似地表示為，已知此生產線年產量最大為噸．（Ⅰ）求年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低，并求最低成本；（Ⅱ）若每噸產品平均出廠價為萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？【解析】（Ⅰ）（萬元（1分） （分），即時取等號 （分）噸時，每噸平均成本最低為萬元（分）（Ⅱ）萬元（分） （1分）在上是增函數．時，有最大值∴年產量為噸時，可以獲得最大利潤萬元．（12分）22．（本題12分）已知函數．（Ⅰ）求函數的定義域，并判斷函數的奇偶性；（Ⅱ）對于，恒成立，求實數的取值范圍．【解析】（Ⅰ）由，解得或，∴函數的定義域為 （2分）當時，．∴是奇函數． （5分）本卷第1頁（共10頁）云南省個舊市2015-2016學年高二上學期期末考試數學（理）試題
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