首先,我們要了解下正弦定理的應(yīng)用領(lǐng)域
在解三角形中,有以下的應(yīng)用領(lǐng)域:
(1)已知三角形的兩角與一邊,解三角形
(2)已知三角形的兩邊和其中一邊所對(duì)的角,解三角形
(3)運(yùn)用a:b:c=sinA:sinB:sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系
直角三角形的一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做這個(gè)角的正弦
正弦定理
在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,則有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R為三角形外接圓的半徑)
其次,余弦的應(yīng)用領(lǐng)域
余弦定理
余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理,直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題,若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí),則使用起來更為方便、靈活。
正弦定理的變形公式
(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;在一個(gè)三角形中,各邊與其所對(duì)角的正弦的比相等,且該比值都等于該三角形外接圓的直徑已知三角形是確定的,利用正弦定理解三角形時(shí),其解是唯一的;已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角,由于該三角形具有不穩(wěn)定性,所以其解不確定,可結(jié)合平面幾何作圖的方法及“大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊”定理和三角形內(nèi)角和定理去考慮解決問題
(3)相關(guān)結(jié)論:a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R(R為外接圓半徑)
(4)設(shè)R為三角外接圓半徑,公式可擴(kuò)展為:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即當(dāng)一內(nèi)角為90°時(shí),所對(duì)的邊為外接圓的直徑。靈活運(yùn)用正弦定理,還需要知道它的幾個(gè)變形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2RasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA
(5)a=bsinA/sinBsinB=bsinA/a
正弦、余弦典型例題
1.在△ABC中,∠C=90°,a=1,c=4,則sinA的值為
2.已知α為銳角,且,則α的度數(shù)是()A.30°B.45°C.60°D.90°
3.在△ABC中,若,∠A,∠B為銳角,則∠C的度數(shù)是()A.75°B.90°C.105°D.120°
4.若∠A為銳角,且,則A=()A.15°B.30°C.45°D.60°
5.在△ABC中,AB=AC=2,AD⊥BC,垂足為D,且AD=,E是AC中點(diǎn),EF⊥BC,垂足為F,求sin∠EBF的值。
正弦、余弦解題訣竅
1、已知兩角及一邊,或兩邊及一邊的對(duì)角(對(duì)三角形是否存在要討論)用正弦定理
2、已知三邊,或兩邊及其夾角用余弦定理
3、余弦定理對(duì)于確定三角形形狀非常有用,只需要知道最大角的余弦值為正,為負(fù),還是為零,就可以確定是鈍角。直角還是銳角。
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