1.1.1 算法的概念
【目標(biāo)】
1.了解算法的含義，體會(huì)算法的思想。
2.能夠用自然語(yǔ)言敘述算法。
3.掌握正確的算法應(yīng)滿(mǎn)足的要求。
【重點(diǎn)與難點(diǎn)】
重點(diǎn)：算法的含義、解二元一次方程組和判斷一個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)的算法設(shè)計(jì)。
教學(xué)難點(diǎn)：把自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為算法語(yǔ)言。
【教學(xué)過(guò)程】
1.情境導(dǎo)入：
算法作為一個(gè)名詞，在中學(xué)教科書(shū)中并沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)，我們?cè)诨A(chǔ)教育階段還沒(méi)有接觸算法概念。但是我們卻從小學(xué)就開(kāi)始接觸算法，熟悉許多問(wèn)題的算法。如，做四則運(yùn)算要先乘除后加減，從里往外脫括弧，豎式筆算等都是算法，至于乘法口訣、珠算口訣更是算法的具體體現(xiàn)。我們知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解線(xiàn)性方程組的算法，求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的算法等。因此，算法其實(shí)是重要的數(shù)學(xué)對(duì)象。
2.探索研究
算法(algorithm)一詞于算術(shù)(algorism)，即算術(shù)方法，是指一個(gè)由已知推求未知的運(yùn)算過(guò)程。后，人們把它推廣到一般，把進(jìn)行某一工作的方法和步驟稱(chēng)為算法。
廣義地說(shuō)，算法就是做某一事的步驟或程序。菜譜是做菜肴的算法，洗衣機(jī)的使用說(shuō)明書(shū)是操作洗衣機(jī)的算法，歌譜是一首歌曲的算法。在數(shù)學(xué)中，主要研究計(jì)算機(jī)能實(shí)現(xiàn)的算法，即按照某種機(jī)械程序步驟一定可以得到結(jié)果的解決問(wèn)題的程序。比如解方程的算法、函數(shù)求值的算法、作圖的算法，等等。
3.例題分析
例1. 任意給定一個(gè)大于1的整數(shù)n，試設(shè)計(jì)一個(gè)程序或步驟對(duì)n是否為質(zhì)數(shù)做出判定。
解析：根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義判斷
解：算法如下：
第一步：判斷n是否等于2，若n=2，則n是質(zhì)數(shù)；若n>2，則執(zhí)行第二步。
第二步：依次從2至（n-1）檢驗(yàn)是不是n的因數(shù)，即整除n的數(shù)，若有這樣的數(shù)，則n不是質(zhì)數(shù)；若沒(méi)有這樣的數(shù)，則n是質(zhì)數(shù)。
這是判斷一個(gè)大于1的整數(shù)n是否為質(zhì)數(shù)的最基本算法。
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)例1明確算法具有兩個(gè)主要特點(diǎn)：有限性和確定性。
變式訓(xùn)練1：一個(gè)人帶三只狼和三只羚羊過(guò)河，只有一條船，同船可以容納一個(gè)人和兩只動(dòng)物．沒(méi)有人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量，狼就會(huì)吃掉羚羊．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)過(guò)河的算法。
解：算法或步驟如下：
S1 人帶兩只狼過(guò)河；
S2 人自己返回；
S3 人帶一只羚羊過(guò)河；
S4 人帶兩只狼返回；
S5 人帶兩只羚羊過(guò)河；
S6 人自己返回；
S7 人帶兩只狼過(guò)河；
S8 人自己返回；
S9 人帶一只狼過(guò)河．
例2 給出求解方程組 的一個(gè)算法．
解析：解線(xiàn)性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法，這兩種方法沒(méi)有本質(zhì)的差別，為了適用于解一般的線(xiàn)性方程組，以便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，我們用高斯消元法（即先將方程組化為一個(gè)三角形方程組，在通過(guò)回代過(guò)程求出方程組的解）解線(xiàn)性方程組．
解：用消元法解這個(gè)方程組，步驟是：
第一步：方程①不動(dòng)，將方程②中 的系數(shù)除以方程①中 的系數(shù)，得到乘數(shù) ；
第二步：方程②減去 乘以方程①，消去方程②中的 項(xiàng)，得到
；
第三步：將上面的方程組自下而上回代求解，得到 ， ．
所以原方程組的解為 ．
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)例2再次明確算法特點(diǎn)：有限性和確定性
變式訓(xùn)練2：寫(xiě)出求過(guò)兩點(diǎn)(-2,-1)、N(2,3)的直線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成面積的一個(gè)算法。
解：算法：第一步：取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3；
第二步：計(jì)算 ；
第三步：在第二步結(jié)果中令x=0得到y(tǒng)的值m，得直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)(0,m)；
第四步：在第二步結(jié)果中令y=0得到x的值n，得直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)(n,0)；
第五步：計(jì)算S= ；
第六步：輸出運(yùn)算結(jié)果
例3 用二分法設(shè)計(jì)一個(gè)求解方程x2?2=0的近似根的算法。
算法分析：回顧二分法解方程的過(guò)程，并假設(shè)所求近似根與準(zhǔn)確解的差的絕對(duì)值不超過(guò)0.005，則不難設(shè)計(jì)出以下步驟：
第一步：令f(x)=x2?2。因?yàn)閒(1)<0，f(2)>0，所以設(shè)x1=1，x2=2。
第二步：令m=(x1+x2)/2，判斷f(m)是否為0，若則，則m為所長(zhǎng)；若否，則繼續(xù)判斷f(x1)•f(m)大于0還是小于0。
第三步：若f(x1)•f(m)>0，則令x1=m；否則，令x2=m。
第四步：判斷x1?x2<0.005是否成立？若是，則x1、x2之間的任意取值均為滿(mǎn)足條的近似根；若否，則返回第二
點(diǎn)評(píng)：滲透循環(huán)的思想，為后面教學(xué)做鋪墊。
變式訓(xùn)練3 給出求1+2+3+4+5的一個(gè)算法．
解： 算法1 按照逐一相加的程序進(jìn)行．
第一步：計(jì)算1+2，得到3；
第二步：將第一步中的運(yùn)算結(jié)果3與3相加，得到6；
第三步：將第二步中的運(yùn)算結(jié)果6與4相加，得到10；
第四步：將第三步中的運(yùn)算結(jié)果10與5相加，得到15．
算法2 運(yùn)用公式 直接計(jì)算．
第一步：取 =5；
第二步：計(jì)算 ；
第三步：輸出運(yùn)算結(jié)果．
算法3 用循環(huán)方法求和．
第一步：使 ，；
第二步：使 ；
第三步：使 ；
第四步：使 ；
第五步：如果 ，則返回第三步，否則輸出 ．
點(diǎn)評(píng)：一個(gè)問(wèn)題的算法可能不唯一．
4．回顧小結(jié)
1．算法的概念：對(duì)一類(lèi)問(wèn)題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法．算法是由基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟，或者是按照要求設(shè)計(jì)好的有限的計(jì)算序列，并且這樣的步驟或序列能解決一類(lèi)問(wèn)題．
2．算法的重要特征：
（1）有限性：一個(gè)算法在執(zhí)行有限步后必須結(jié)束；
（2）確定性：算法的每一個(gè)步驟和次序必須是確定的；
（3）輸入：一個(gè)算法有0個(gè)或多個(gè)輸入，以刻劃運(yùn)算對(duì)象的初始條．所謂0個(gè)輸入是指算法本身定出了初始條．
（4）輸出：一個(gè)算法有1個(gè)或多個(gè)輸出，以反映對(duì)輸入數(shù)據(jù)加工后的結(jié)果．沒(méi)有輸出的
算法是毫無(wú)意義的．
5．后作業(yè)
寫(xiě)出求 的一個(gè)算法
解：第一步：使 ，；
第二步：使 ；
第三步：使 ；
第四步：使 ；
第五步：使 ；
第六步：如果 ，則返回第三步，否則輸出 ．
1.1.1. 算法的概念
前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：了解算法的含義，體會(huì)算法的思想。
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：
1.算法的概念及其特點(diǎn)
2.判斷一個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)的算法設(shè)計(jì)
三、提出疑惑：如何快速準(zhǔn)確的寫(xiě)出一個(gè)問(wèn)題的算法？
內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.了解算法的含義，體會(huì)算法的思想；
2.能夠用自然語(yǔ)言敘述算法；
3.知道算法應(yīng)滿(mǎn)足的要求。
二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：算法的含義、判斷一個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)的算法設(shè)計(jì)。
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：把自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為算法語(yǔ)言。
三、學(xué)習(xí)過(guò)程：
（一）、自主學(xué)習(xí)：
1．算法的概念
2．算法的重要特征：
（二）、例題分析：
例1. 任意給定一個(gè)大于1的整數(shù)n，試設(shè)計(jì)一個(gè)程序或步驟對(duì)n是否為質(zhì)數(shù)做出判定
變式訓(xùn)練1：一個(gè)人帶三只狼和三只羚羊過(guò)河，只有一條船，同船可以容納一個(gè)人和兩只動(dòng)物．沒(méi)有人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量，狼就會(huì)吃掉羚羊．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)過(guò)河的算法。
例2 給出求解方程組 的一個(gè)算法．
變式訓(xùn)練2：寫(xiě)出求過(guò)兩點(diǎn)(-2,-1)、N(2,3)的直線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成面積的一個(gè)算法。
例3 用二分法設(shè)計(jì)一個(gè)求解方程x2?2=0的近似根的算法。
變式訓(xùn)練3 給出求1+2+3+4+5的一個(gè)算法
（三）、回顧小結(jié)：
（1）算法的概念
（2）算法的重要特征
（四）、當(dāng)堂檢測(cè)：
寫(xiě)出求 的一個(gè)算法
解：第一步：使 ，；
第二步：使 ；
第三步：使 ；
第四步：使 ；
第五步：使 ；
第六步：如果 ，則返回第三步，否則輸出 ．
后練習(xí)與提高：
1. 下列關(guān)于算法的說(shuō)法中，正確的是（ ）.
A． 算法就是某個(gè)問(wèn)題的解題過(guò)程 B． 算法執(zhí)行后可以不產(chǎn)生確定的結(jié)果
C． 解決某類(lèi)問(wèn)題的算法不是惟一的 D． 算法可以無(wú)限地操作下去不停止
2.有一堆形狀大小相同的珠子，其中只有一粒質(zhì)量比其他的輕，某同學(xué)利用科學(xué)的算法，兩次利用天平找出這粒最輕的珠子，則這堆珠子最多有多少粒（ ）
A. 4 B.5 C.7 D.9
3下列各式中的S值不可以用算法求解的是（ ）
A.S=1+2+3+4
B.S=1+2+3+4+….
C.S=
D.S=1+2+3+4+…+100
4.已知一個(gè)學(xué)生的語(yǔ)成績(jī)?yōu)?9，數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?6，外語(yǔ)成績(jī)?yōu)?9。求它的總分和平均分的一個(gè)算法為：
第一步：取A=89，B=99;
第二步：
第三步：
第四步：輸出計(jì)算結(jié)果。
5.寫(xiě)出解方程2x+3=0的算法。
第一步：
第二步：
第三步：
6. 給出一個(gè)判斷點(diǎn)P 是否在直線(xiàn)y=x-1上的一個(gè)算法。
參考答案：
1.C 2.D 3.B 4.計(jì)算總分S=A+B+C;計(jì)算平均分P=S/3
5.移項(xiàng)得2x=-3;系數(shù)化為1得x=-3/2
6.解：第一步：將點(diǎn)P 的坐標(biāo)帶入直線(xiàn)y=x-1的解析式
第二步：若等式成立，則輸出點(diǎn)P 在直線(xiàn)y=x-1上
若等式不成立，則輸出點(diǎn)P 不在直線(xiàn)y=x-1上
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