不等式的證明
班級 ＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿

一、（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
１．若a>0, b >0,則 的最小值是（ ）
A．2B． C． D．4
2．分析法證明不等式中所說的“執(zhí)果索因”是指尋求使不等式成立的（ ）
A．必要條件B．充分條件
C．充要條件D．必要或充分條件
3．設(shè)a、b為正數(shù)，且a+ b≤4，則下列各式中正確的一個是（ ）
A． B． C． D．
4．已知a、b均大于1，且logaC•logbC=4，則下列各式中，一定正確的是（ ）
A．a(chǎn)c≥bB．a(chǎn)b≥cC．bc≥aD．a(chǎn)b≤c
5．設(shè)a= ，b= ， ，則a、b、c間的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．a(chǎn)>c>b
6．已知a、b、為正實數(shù)，則不等式 （ ）
A．當a< b時成立B．當a> b時成立
C．是否成立與無關(guān)D．一定成立
7．設(shè)x為實數(shù)，P=ex+e-x，Q=(sinx+cosx)2，則P、Q之間的大小關(guān)系是（ ）
A．P≥QB．P≤QC．P>QD． P<Q
8．已知a> b且a+ b <0，則下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．設(shè)a、b為正實數(shù)，P=aabb，Ｑ=abba，則P、Q的大小關(guān)系是 （ ）
A．P≥QB．P≤QC．P=QD．不能確定
10．甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度n行走，若≠n，則甲、乙兩人到達指定地點的情況是（ ）
A．甲先到B．乙先到C．甲乙同時到D．不能確定
題號12345678910
答案
二、題
11．若實數(shù) 滿足 ，則 的最小值為
12．函數(shù) 的最小值為_____________。
13．使不等式a2>b 2， ，lg(a－b)>0， 2a>2b-1同時成立的a、b、1的大小關(guān)系是 ．
14．建造一個容積為83，深為2的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，則水池的最低總造價為 元．
三、解答題
15．（1）若a、b、c都是正數(shù)，且a+b+c=1，
求證： (1?a)(1?b)(1?c)≥8abc．
（2）已知實數(shù) 滿足 ，且有
求證：

16．設(shè) 的大�。�（12分）

17．(1)求證：
(2)已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：

18．(1)已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac + bd．
(2) 已知 ，且
求證：

19．設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840c2，畫面的寬與高的比為λ（λ<1），畫面的上下各留8c空白，左、右各留5c空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最��？

20．數(shù)列{xn}由下列條件確定： ．
（Ⅰ）證明：對n≥2，總有xn≥ ；
（Ⅱ）證明：對n≥2，總有xn≥ ．

參考答案
一．（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
題號12345678910
答案DBBBDAACAA
二．題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）
11． 12． 13．a(chǎn)>b>1 14．1760
三、解答題（本大題共6題，共76分）
15．（12分）
[證明]：因為a、b、c都是正數(shù)，且a+b+c=1，
所以(1?a)(1?b)(1?c)=(b+c)( a+c)( a+b)≥2 •2 •2 =8abc．
16．（12分）
[解析 ]：
（當且僅當t=1時時等號成立）
（1） 當t=1時， （2） 當 時， ，
若
若
17．（12分）
[證明]：左－右=2（ab+bc－ac） ∵a，b，c成等比數(shù)列，
又∵a，b，c都是正數(shù)，所以 ≤ ∴
∴
∴
18．（12分）
[證法一]：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正數(shù) ∴要證：xy≥ac + bd
只需證：(xy)2≥(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展開得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，顯然成立
∴xy≥ac + bd
[證法二]：（綜合法）xy =
≥
[證法三]：（三角代換法）
∵x2 = a2 + b2，∴不妨設(shè)a = xsin, b = xcos
y2 = c2 + d2 c = ysin, d = ycos
∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos(  )≤xy
19．（14分）
[解析]：設(shè)畫面高為x c，寬為 x c 則 x2=4840．
設(shè)紙張面積為S，有 S=（x +16）( x +10) = x 2+(16 +10) x +160,
S=5000+44
當8
此時，高： 寬：
答：畫面高為88c，寬為55c時，能使所用紙張面積最小．
20．（14分）
（I）證明：由 及 可歸納證明 （沒有證明過程不扣分）
從而有 所以，當 成立.
（II）證法一：當
所以 故當
證法二：當
所以 故當 .
2．證明：

即
4．證明：
是方程 的兩個不等實根，
則 ，得
而
即 ，得
所以 ，即
5．證明：顯然
是方程 的兩個實根，
由 得 ，同理可得 ，

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