§2.3 數(shù)學(xué)歸納法(1)
一、知識(shí)要點(diǎn)
1.數(shù)學(xué)歸納法原理:
2.在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),第一步驗(yàn)證初始值可稱(chēng)為“初始步”,第二步運(yùn)用歸納假設(shè)可稱(chēng)為“遞推步”,這兩個(gè)步驟缺一不可。
二、典型例題
例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:等差數(shù)列 中, 為首項(xiàng), 為公差,則通項(xiàng)公式為 .
例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng) 時(shí), ;
例3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng) 時(shí), .
三、鞏固練習(xí)
1.什么是數(shù)學(xué)歸納法?在用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí),為什么步驟⑴和步驟⑵兩者缺一不可?
分析下列各題(2~3)用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程中的錯(cuò)誤:
2.設(shè) ,求證: .
證明:假設(shè)當(dāng) 時(shí)等式成立,即
那么,當(dāng) 時(shí),有
因此,對(duì)于任何 等式都成立.
3.設(shè) ,求證: .
證明:⑴當(dāng) 時(shí), ,不等式顯然成立.
⑵假設(shè)當(dāng) 時(shí)不等式成立,即 ,那么當(dāng) 時(shí),有
.
這就是說(shuō),當(dāng) 時(shí)不等式也成立. 根據(jù)⑴和⑵,可知對(duì)任何 不等式都成立.
四、堂小結(jié)
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法注意兩點(diǎn):
1.驗(yàn)證 的初始值 至關(guān)重要,且初始值未必是1,要看清題目;
2.第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè),特別要弄清由“ 到 ”時(shí)命題的變化(項(xiàng)的增加或減少).
五、后反思
六、后作業(yè)
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明 ,第一步驗(yàn)證 = .
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明 ,第一步即證不等式
成立.
3.當(dāng) 為正奇數(shù)時(shí),求證 被 整除,當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè) 命題為真時(shí),進(jìn)而需證 = 時(shí),命題亦真.
4.用數(shù)學(xué)歸納法證明 ,從“ 到 ”左端需增乘的代數(shù)式為 .
5.用數(shù)列歸納法證明 ,第二步證明從“ 到 ”,左端增加的項(xiàng)數(shù)為 .
用數(shù)學(xué)歸納法證明下列各題
6. .
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