函數(shù)的極值與最值

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)


23.函數(shù)的極值與最值
一、前準(zhǔn)備:
【自主梳理】
1.若函數(shù)f(x)在點x0的附近恒有 (或 ),則稱函數(shù)f(x)在點x0處取得極大值(或極小值),稱點x0為極大值點(或極小值點).
2.求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:
①求導(dǎo)數(shù) ;
②求方程 的根;
③檢驗 在方程 根的左右的符號,如果左正右負,那么函數(shù)y=f(x)在這個根處取得極 值;如果左負右正,那么函數(shù)y=f(x)在這個根處取得極 值.
3.求可導(dǎo)函數(shù)最大值與最小值的步驟:
①求y=f(x)在[a,b]內(nèi)的極值;
②將y=f(x)在各極值點的極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個是最小值。
【自我檢測】
1.函數(shù) 的極大值為 .
2.函數(shù) 在 上的最大值為 .
3.若函數(shù) 既有極大值又有極小值,則 的取值范圍為 .
4.已知函數(shù) ,若對任意 都有 ,則 的取值范圍是 .
(說明:以上內(nèi)容學(xué)生自主完成,原則上教師堂不講)

二、堂活動:
【例1】填空題:
(1)函數(shù) 的極小值是__________.
(2)函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值是________ ;最大值是__________.
(3)若函數(shù) 在 處取極值,則實數(shù) = _.
(4)已知函數(shù) 在 時有極值0,則 = _.

【例2】設(shè)函數(shù) .
(Ⅰ)求 的最小值 ;
(Ⅱ)若 對 恒成立,求實數(shù) 的取值范圍.

【例3】如圖6所示,等腰 的底邊 ,高 ,點 是線段 上異于點 的動點,點 在 邊上,且 ,現(xiàn)沿 將 折起到 的位置,使 ,記 , 表示四棱錐 的體積.
(1)求 的表達式;
(2)當(dāng) 為何值時, 取得最大值?

堂小結(jié)
三、后作業(yè)
1.若 沒有極值,則 的取值范圍為 .?
2.如圖是 導(dǎo)數(shù)的圖象,對于下列四個判斷:?
① 在[-2,-1]上是增函數(shù);?
② 是 的極小值點;?
③ 在[-1,2]上是增函數(shù),在[2,4]上是減函數(shù);?
④ 是 的極小值點.?
其中判斷正確的是 .?
3.若函數(shù) 在(0,1)內(nèi)有極小值,則 的取值范圍為 .
4.函數(shù) ,在x=1時有極值10,則 的值為 .
5.下列關(guān)于函數(shù) 的判斷正確的是 .
①f(x)>0的解集是{x0<x<2};?
②f(- )是極小值,f( )是極大值;?
③f(x)沒有最小值,也沒有最大值.?
6.設(shè)函數(shù) 在 處取得極值,則 的值為 .
7.已知函數(shù) ( 為常數(shù)且 )有極值9,則 的值為 .
8.若函數(shù) 在 上的最大值為 ,則 的值為 .

9.設(shè)函數(shù) 在 及 時取得極值.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若對于任意的 ,都有 成立,求c的取值范圍.

10.已知函數(shù) ,求函數(shù)在[1,2]上的最大值.

四、糾錯分析
錯題卡題 號錯 題 原 因 分 析

參考答案:
【自我檢測】
1.7 2. 3. 4.
例1:(1)0 (2)1, (3)3 (4)11

例2:解:(Ⅰ) ,
當(dāng) 時, 取最小值 ,
即 .
(Ⅱ)令 ,
由 得 , (不合題意,舍去).
當(dāng) 變化時 , 的變化情況如下表:


遞增極大值
遞減
在 內(nèi)有最大值 .
在 內(nèi)恒成立等價于 在 內(nèi)恒成立,
即等價于 ,
所以 的取值范圍為 .

例3:解:(1)由折起的過程可知,PE⊥平面ABC, ,
V(x)= ( )
(2) ,所以 時, ,V(x)單調(diào)遞增; 時 ,V(x)單調(diào)遞減;因此x=6時,V(x)取得最大值 ;


后作業(yè)
1.[-1,2] 2.②③ 3.0<b<1 4.a(chǎn)=-4,b=11
5.?①② 6.1 7.2 8.
9.解:(Ⅰ) ,
因為函數(shù) 在 及 取得極值,則有 , .

解得 , .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,

當(dāng) 時, ;
當(dāng) 時, ;
當(dāng) 時, .
所以,當(dāng) 時, 取得極大值 ,又 , .
則當(dāng) 時, 的最大值為 .
因為對于任意的 ,有 恒成立,
所以  ,
解得  或 ,
因此 的取值范圍為 .

10.解: ∵ ,∴
令 ,即 ,得 .?
∴f(x)在(-∞,0), 上是減函數(shù),在 上是增函數(shù).?
①當(dāng) ,即 時, 在(1,2)上是減函數(shù),?∴ .
②當(dāng) ,即 時, 在 上是減函數(shù),
?∴ .
③當(dāng) ,即 時, 在 上是增函數(shù),?
∴ .
綜上所述,當(dāng) 時, 的最大值為 ,?
當(dāng) 時, 的最大值為 ,
當(dāng) 時, 的最大值為 .




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