23.函數(shù)的極值與最值
一、前準備：
【自主梳理】
1．若函數(shù)f(x)在點x0的附近恒有 (或 )，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取得極大值（或極小值），稱點x0為極大值點（或極小值點）．
2．求可導函數(shù)極值的步驟：
①求導數(shù) ；
②求方程 的根；
③檢驗 在方程 根的左右的符號，如果左正右負，那么函數(shù)y=f(x)在這個根處取得極 值；如果左負右正，那么函數(shù)y=f(x)在這個根處取得極 值．
3．求可導函數(shù)最大值與最小值的步驟：
①求y=f(x)在[a,b]內(nèi)的極值；
②將y=f(x)在各極值點的極值與f（a）、f（b）比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個是最小值。
【自我檢測】
1．函數(shù) 的極大值為 ．
2．函數(shù) 在 上的最大值為 ．
3．若函數(shù) 既有極大值又有極小值，則 的取值范圍為 ．
4．已知函數(shù) ，若對任意 都有 ，則 的取值范圍是 ．
（說明：以上內(nèi)容學生自主完成，原則上教師堂不講）

二、堂活動：
【例1】填空題：
（1）函數(shù) 的極小值是__________．
（2）函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值是________ ；最大值是__________．
（3）若函數(shù) 在 處取極值，則實數(shù) = _．
（4）已知函數(shù) 在 時有極值0，則 = _．

【例2】設(shè)函數(shù) ．
（Ⅰ）求 的最小值 ；
（Ⅱ）若 對 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍．

【例3】如圖6所示，等腰 的底邊 ，高 ，點 是線段 上異于點 的動點，點 在 邊上，且 ，現(xiàn)沿 將 折起到 的位置，使 ，記 ， 表示四棱錐 的體積．
（1）求 的表達式；
（2）當 為何值時， 取得最大值？

堂小結(jié)
三、后作業(yè)
1．若 沒有極值，則 的取值范圍為 .?
2．如圖是 導數(shù)的圖象，對于下列四個判斷：?
① 在［-2，-1］上是增函數(shù)；?
② 是 的極小值點；?
③ 在［-1，2］上是增函數(shù)，在［2，4］上是減函數(shù)；?
④ 是 的極小值點.?
其中判斷正確的是 .?
3．若函數(shù) 在（0，1）內(nèi)有極小值，則 的取值范圍為 ．
4．函數(shù) ,在x=1時有極值10，則 的值為 ．
5．下列關(guān)于函數(shù) 的判斷正確的是 ．
①f(x)>0的解集是{x0<x<2};?
②f(- )是極小值，f( )是極大值；?
③f(x)沒有最小值，也沒有最大值.?
6．設(shè)函數(shù) 在 處取得極值，則 的值為 ．
7．已知函數(shù) （ 為常數(shù)且 ）有極值9，則 的值為 ．
8．若函數(shù) 在 上的最大值為 ，則 的值為 ．

9．設(shè)函數(shù) 在 及 時取得極值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若對于任意的 ，都有 成立，求c的取值范圍．

10．已知函數(shù) ,求函數(shù)在［1，2］上的最大值.

四、糾錯分析
錯題卡題 號錯 題 原 因 分 析

參考答案：
【自我檢測】
1．7 2． 3． 4．
例1：（1）0 （2）1， （3）3 （4）11

例2：解：（Ⅰ） ，
當 時， 取最小值 ，
即 ．
（Ⅱ）令 ，
由 得 ， （不合題意，舍去）．
當 變化時 ， 的變化情況如下表：

遞增極大值
遞減
在 內(nèi)有最大值 ．
在 內(nèi)恒成立等價于 在 內(nèi)恒成立，
即等價于 ，
所以 的取值范圍為 ．

例3：解：（1）由折起的過程可知，PE⊥平面ABC， ，
V(x)= （ ）
（2） ，所以 時， ，V(x)單調(diào)遞增； 時 ，V(x)單調(diào)遞減；因此x=6時，V(x)取得最大值 ；

后作業(yè)
1．［-1，2］ 2．②③ 3．0<b<1 4．a(chǎn)=-4,b=11
5．?①② 6．1 7．2 8．
9．解：（Ⅰ） ，
因為函數(shù) 在 及 取得極值，則有 ， ．
即
解得 ， ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，
．
當 時， ；
當 時， ；
當 時， ．
所以，當 時， 取得極大值 ，又 ， ．
則當 時， 的最大值為 ．
因為對于任意的 ，有 恒成立，
所以　 ，
解得　 或 ，
因此 的取值范圍為 ．

10．解： ∵ ，∴
令 ,即 ,得 .?
∴f(x)在（-∞,0), 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù).?
①當 ,即 時, 在（1，2）上是減函數(shù),?∴ .
②當 ,即 時, 在 上是減函數(shù),
?∴ .
③當 ,即 時, 在 上是增函數(shù),?
∴ .
綜上所述，當 時， 的最大值為 ,?
當 時， 的最大值為 ,
當 時， 的最大值為 ．

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