1．3二項(xiàng)式定理

一、：本大題共 12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．在 的展開式中， 的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2． 已知 ， 的展開式按a的降冪排列，其中第n 項(xiàng)與第n+1項(xiàng)相等，那么正整數(shù)n等于（ ）
A．4 B．9 C．10 D．11
3．已知（ 的展開式的第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的系數(shù)的比為11∶2，則n是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．5310被8除的余數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．7
5． (1.05)6的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是（ ）
A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34
6．二項(xiàng)式 (n N)的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則此展開式有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是　　�。� ）
A．1 B．2 C．3 D ．4
7．設(shè)(3x +x ) 展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為t，其二項(xiàng)式系數(shù)之和為h，若t+h=2 72，則展開式的x 項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．在 的展開式中 的系數(shù)為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9． 展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和等于1024，則所有項(xiàng)的系數(shù)中最大的值是
（ ）
A．330 B．462 C．680 D．790
10． 的展開式中， 的系數(shù)為（ ）
A．－40 B．10 C．40 D．45
11．二項(xiàng)式(1+sinx)n的展開式中，末尾兩項(xiàng)的系數(shù)之和為7，且系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為 ，則x在[0，2π]內(nèi)的值為（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
12．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展開式中,含x4項(xiàng)的系數(shù)是等差數(shù)列 an=3n－5的（ ）
A．第2項(xiàng) B．第11項(xiàng) C．第20項(xiàng) D．第24項(xiàng)
二、題：本大題滿分16分，每小題4分，各題只要求直接寫出結(jié)果.
13． 展開式中 的系數(shù)是 .
14．若 ，則 的值為__________.
15．若 的展開式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 .
16．對(duì)于二項(xiàng)式(1-x) ，有下列四個(gè)命題：
①展開式中T = －C x ；
②展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1；
③展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1000項(xiàng)和第1001項(xiàng)；
④當(dāng)x=2000時(shí)，(1-x) 除以2000的余數(shù)是1．
其中正確命題的序號(hào)是__________．（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）

三、解答題：本大題滿分74分.
17．（12分）若 展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列．
（１）求n的值；
（２）此展開式中是否有常數(shù)項(xiàng)，為什么？

18． （12分）已知( )n的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37，求展式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系 數(shù)．

19．（12分）是否存在等差數(shù)列 ，使 對(duì)任意 都成立？若存在，求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

20．（12分）某地現(xiàn)有耕地100000畝，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增加率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1畝）？

21. （12分）設(shè)f(x)=(1+x)+(1+x)n(、n )，若其展開式中，關(guān)于x的一次項(xiàng)系數(shù)為11，試問：、n取何值時(shí)，f(x)的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值，并求出這個(gè)最小值.

22．（14分）規(guī)定 ，其中x∈R，是正整數(shù)，且 ，這是組合數(shù) （n、是正整數(shù)，且≤n）的一種推廣．
(1) 求 的值；
(2) 設(shè)x>０，當(dāng)x為何值時(shí)， 取得最小值？
(3) 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)；
① .　�、� .
是否都能推廣到 （x∈R，是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由.

參考答案
一、
1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C 9．B 10．D 11．B 12．C
3．解： ， ．
5 ．解：(1.05)6 =
=1+0.3+0.0375+0.0025+… 1.34．
6．解： ，r=0,1,…,8. 設(shè) ，得滿足條件的整數(shù)對(duì)(r,k) 只有(0,4),(4,1),(8,-2).
7．解：由 得 ，n=4, , 取r=4.
8．解：設(shè) = 的展開式的通項(xiàng)為 則 (r=0,1,2,…,6). 二項(xiàng)式 展開式的通項(xiàng)為
(n=0,1,2,…,r)
的展開式的通項(xiàng)公式為
令r+n=5,則n=5-r r=3,4,5,n=2,1,0.
展開式中含 項(xiàng)的系數(shù)為:
9．解：顯然奇數(shù)項(xiàng)之和是所有項(xiàng)系數(shù)之 和的一半，令x =1 即得所有項(xiàng)系數(shù)之和， 各項(xiàng)的系數(shù)為二項(xiàng)式系數(shù)，故系統(tǒng)最大值為 或 ，為462．
10．解： =
= =
的系數(shù)為
二、題
13． ； 14．1； 15． =210； 1 6．①④．
三、解答題
17．解：（１）n = 7 （6分）（２）無(wú)常數(shù)項(xiàng)（6分）
18．解：由 (3 分)得 （5分），得 ．（8分） ，該項(xiàng)的系數(shù)最大，為 ．（12分）
19．解：假設(shè)存在等差數(shù)列 滿足要求（2分） （4分）= （8分）
依題意 ， 對(duì) 恒成立，（10分） , 所求的等差數(shù)列存在，其通項(xiàng)公式為 ．（12分）
20．解：設(shè)耕地平均每年減少x畝，現(xiàn)有人口為p人，糧食單產(chǎn)為噸/畝，（2分）依題意
（6分）
化簡(jiǎn)： （8分）
（10分）

（畝）
答：耕地平均每年至多只能減少4畝．（12分）
21．解：展開式中，關(guān)于x的一次項(xiàng)系數(shù)為 （3分）關(guān)于x的二次項(xiàng)系數(shù)為 ，（8分）當(dāng)n=5或6時(shí)，含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值25，此時(shí)=6,n=5或 =5,n=6. （12分）
22．解：(1) . （4分）
(2) . （6分） ∵　x > 0 , .
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立. ∴　當(dāng) 時(shí)， 取得最小值. （8分）
（3）性質(zhì)①不能推廣，例如當(dāng) 時(shí)， 有定義，但 無(wú)意義; （10分）
性質(zhì)②能推廣，它的推廣形 式是 ，xR , 是正整數(shù). （12分）
事實(shí)上，當(dāng)＝１時(shí)，有 .
　當(dāng)≥２時(shí).
　 ．（14分）

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