§2.4.2 拋物線及其幾何性質(zhì)(2)
一、知識(shí)要點(diǎn)
1.了解拋物線過焦點(diǎn)弦的簡(jiǎn)單性質(zhì);
2.在對(duì)拋物線幾何性質(zhì)的討論中,注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化。
二、典型例題
例1.⑴設(shè) 是拋物線 上一點(diǎn), 為焦點(diǎn),求 的長(zhǎng);
⑵已知 是過拋物線 的焦點(diǎn) 的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn),求證: 。
例2.已知定點(diǎn) ,拋物線 上的動(dòng)點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為 ,求 的最小值,并確定取最小值時(shí) 點(diǎn)的坐標(biāo)。
例3.設(shè)過拋物線 的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),且兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ,求證: 。
例4.已知直線 為拋物線 相交于點(diǎn) ,求證: 。
三、鞏固練習(xí)
1.已知?jiǎng)訄A 的圓心在拋物線 上,且與拋物線的準(zhǔn)線相切,求證:圓 必經(jīng)過定點(diǎn),并求出這個(gè)定點(diǎn)。
2.若直線 過拋物線 的焦點(diǎn),與拋物線交于 兩點(diǎn),且線段 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,求線段 的長(zhǎng)。
3.已知拋物線的焦點(diǎn)在 軸上,點(diǎn) 是拋物線上的一點(diǎn), 到焦點(diǎn)的距離是5,求 的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、準(zhǔn)線方程。
四、小結(jié)
五、后作業(yè)
1.焦點(diǎn)為 的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ;
2.頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 軸上的拋物線上有一點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為5,則 = ;
3.已知拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3,則拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是 ;
4.已知拋物線 的弦 垂直于 軸,若 ,則焦點(diǎn)到直線 的距離為 ;
5.斜率為1的直線經(jīng)過拋物線 的焦點(diǎn),與拋物線相交于 ,求線段 的長(zhǎng)。
6.已知 是拋物線 上三點(diǎn),且它們到焦點(diǎn) 的距離 成等差數(shù)列,求證: 。
7.直角三角形 的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線 上,其中直角頂點(diǎn) 為原點(diǎn), 所在直線的方程為 , 的面積為 ,求該拋物線的方程。
8. 是拋物線 上兩點(diǎn),且滿足 ,其中 為拋物線頂點(diǎn),
求證:⑴ 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)乘積為定值;⑵直線 恒過一定點(diǎn)。
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