2.3.3平面向量的坐標運算

【教學(xué)目標】　　
1．能準確表述向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標運算法則，并能進行相關(guān)運算，進一步培養(yǎng)學(xué)生的運算能力；
2．通過學(xué)習(xí)向量的坐標表示，使學(xué)生進一步了解數(shù)形結(jié)合思想，認識事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力.
【教學(xué)重難點】
教學(xué)重點: 平面向量的坐標運算．
教學(xué)難點: 對平面向量坐標運算的理解．
【教學(xué)過程】
一、〖創(chuàng)設(shè)情境〗
以前，我們所講的向量都是用有向線段表示，即幾何的方法表示。向量是否可以用代數(shù)的方法，比如用坐標表示呢？如果可能的話，向量的運算就可以通過坐標運算完成，那么問題的解決肯定要方便的多。因此，我們有必要探究一下這個問題：平面向量的坐標運算。
二、〖新知探究〗
思考1：設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若設(shè) =(x1, y1) =(x2, y2)則 ＝x1i＋y1j， ＝x2i＋y2j，根據(jù)向量的線性運算性質(zhì)，向量 ＋ ， － ，λ （λ∈R）如何分別用基底i、j表示？
＋ ＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
－ ＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λ ＝λx1i＋λy1j.
思考2：根據(jù)向量的坐標表示，向量 ＋ ， － ，λ 的坐標分別如何？
＋ ＝(x1＋x2，y1＋y2);
－ ＝(x1－x2，y1－y2);

λ ＝(λx1，λy1).

兩個向量和與差的坐標運算法則：
兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差.
實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原向量的相應(yīng)坐標.
思考3：已知點A(x1, y1),B(x2, y2)，那么向量 的坐標如何？

結(jié)論：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.

思考4：一個向量平移后坐標不變，但起點坐標和終點坐標發(fā)生了變化，這是否矛盾呢？

結(jié)論：
1：任意向量的坐標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關(guān)系，只與其相對位置有關(guān)。
2：當把坐標原點作為向量的起點，這時向量的坐標就是向量終點的坐標.

三、〖典型例題〗
例1 已知 =(2,1), =(－3,4),求 ＋ ， － ，3 ＋4 的坐標.
解： ＋ ＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，
－ ＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，
3 ＋4 ＝3（2,1）+4（-3,4）= （6,3）+（-12,16）=(－6，19).
點評：利用平面向量的坐標運算法則直接求解。

變式訓(xùn)練1：已知 ， ，求 ， 的坐標；

例2、已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（-2，1）、（-1，3）（3，4），求頂點D的坐標。
解：設(shè)點D的坐標為（x,y）,


即 3- x=1,4-y=2
解得 x=2,y=2
所以頂點D的坐標為（2，2）.

另解：由平行四邊形法則可得

所以頂點D的坐標為（2，2）

點評：考查了向量的坐標與點的坐標之間的聯(lián)系.
變式訓(xùn)練2：已知平面上三點的坐標分別為A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求點D的坐標使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點。

四、〖堂小結(jié)〗
本節(jié)主要學(xué)習(xí)了平面向量的坐標運算法則：
（1）兩向量和的坐標等于各向量對應(yīng)坐標的和；
（2）兩向量差的坐標等于各向量對應(yīng)坐標的差；
（3）實數(shù)與向量積的坐標等于原向量的對應(yīng)坐標乘以該實數(shù)；
五、〖反饋測評〗
1.下列說法正確的有（ ）個
（1）向量的坐標即此向量終點的坐標
（2）位置不同的向量其坐標可能相同
（3）一個向量的坐標等于它的始點坐標減去它的終點坐標
（4）相等的向量坐標一定相同
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知A（-1，5）和向量 =(2,3)，若 =3 ，則點B的坐標為__________。
A．(7,4) B．(5,4) C．(7,14) D．(5,14)
3．已知點 ， 及 ， ， ，求點 、 、 的坐標。

〖板書設(shè)計〗

【作業(yè)布置】本101頁1---3T
臨清三中數(shù)學(xué)組 編寫人：張越 審稿人： 劉桂江 李懷奎
2.3.3平面向量的坐標運算

前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標：通過預(yù)習(xí)會初步的進行向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標運算
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：
1、知識回顧：平面向量坐標表示
2.平面向量的坐標運算法則：
若 =(x1, y1) ， =(x2, y2)則 ＋ ＝____________________,
－ ＝________________________,λ ＝_____________________.
三、提出疑惑
同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑內(nèi)容

內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標：
1．能準確表述向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標運算法則，并能進行相關(guān)運算，進一步培養(yǎng)學(xué)生的運算能力；
2．通過學(xué)習(xí)向量的坐標表示，使學(xué)生進一步了解數(shù)形結(jié)合思想，認識事物之間的相聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力.
二、學(xué)習(xí)內(nèi)容
1. 平面向量的坐標運算法則：
思考1：設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若 =(x1, y1) ， =(x2, y2)，則 ＝x1i＋y1j， ＝x2i＋y2j，根據(jù)向量的線性運算性質(zhì)，向量 ＋ ， － ，λ （λ∈R）如何分別用基底i、j表示？

思考2：根據(jù)向量的坐標表示，向量 ＋ ， － ，λ 的坐標分別如何？

思考3：已知點A(x1, y1),B(x2, y2)，那么向量 的坐標如何？

平面向量的坐標運算法則：
（1）兩向量和的坐標等于_______________________；
（2）兩向量差的坐標等于_______________________；
（3）實數(shù)與向量積的坐標等于__________________________；
思考4：一個向量平移后坐標不變，但起點坐標和終點坐標發(fā)生了變化，這是否矛盾呢？

2．典型例題
例1 ：已知 =(2,1), =(－3,4),求 ＋ ， － ，3 ＋4 的坐標.

例2：已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點D的坐標。

三、反思
（1）引進向量的坐標后，向量的基本運算轉(zhuǎn)化為實數(shù)的基本運算，可以解方程，可以解不等式，總之問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的領(lǐng)域之中。
（2）要把點坐標與向量坐標區(qū)分開，兩者不是一個概念。

四、當堂檢測
1.下列說法正確的有（ ）個
（1）向量的坐標即此向量終點的坐標
（2）位置不同的向量其坐標可能相同
（3）一個向量的坐標等于它的始點坐標減去它的終點坐標
（4）相等的向量坐標一定相同
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知A（-1，5）和向量 =(2,3)，若 =3 ，則點B的坐標為__________。
A．(7,4) B．(5,4) C．(7,14) D．(5,14)
3．已知點 ， 及 ， ， ，求點 、 、 的坐標。

后練習(xí)與提高
1．已知 ， ，則 等于（ ）
A． B．
C． D．
2．已知平面向量 ， ，且2 ，則 等于（ ）
A． B．
C． D．
3 已知 ， ，若 與 平行，則 等于（ ）．
A. 1 B. -1 C.1或-1 D.2

4.已知 ， ，則 的坐標為____________.
5.已知：點A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若AP=AB+λAC(λ∈R) ，則λ為_______時，點P在一、三象限角平分線上.
6 . 已知 ， ， ， ，則以 ， 為基底，求 .

參考答案：
1.A 2.D 3.C 4.(-1,2) 5.
6.解：令 ，則 .
， ∴ ，
∴ ， ∴ .

本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaoer/47805.html

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