2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【教學(xué)目標(biāo)】　　
1．能準(zhǔn)確表述向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則，并能進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力；
2．通過學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)表示，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)形結(jié)合思想，認(rèn)識事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力.
【教學(xué)重難點(diǎn)】
教學(xué)重點(diǎn): 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
教學(xué)難點(diǎn): 對平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的理解．
【教學(xué)過程】
一、〖創(chuàng)設(shè)情境〗
以前，我們所講的向量都是用有向線段表示，即幾何的方法表示。向量是否可以用代數(shù)的方法，比如用坐標(biāo)表示呢？如果可能的話，向量的運(yùn)算就可以通過坐標(biāo)運(yùn)算完成，那么問題的解決肯定要方便的多。因此，我們有必要探究一下這個問題：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。
二、〖新知探究〗
思考1：設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若設(shè) =(x1, y1) =(x2, y2)則 ＝x1i＋y1j， ＝x2i＋y2j，根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量 ＋ ， － ，λ （λ∈R）如何分別用基底i、j表示？
＋ ＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
－ ＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λ ＝λx1i＋λy1j.
思考2：根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量 ＋ ， － ，λ 的坐標(biāo)分別如何？
＋ ＝(x1＋x2，y1＋y2);
－ ＝(x1－x2，y1－y2);

λ ＝(λx1，λy1).

兩個向量和與差的坐標(biāo)運(yùn)算法則：
兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.
實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原向量的相應(yīng)坐標(biāo).
思考3：已知點(diǎn)A(x1, y1),B(x2, y2)，那么向量 的坐標(biāo)如何？

結(jié)論：一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).

思考4：一個向量平移后坐標(biāo)不變，但起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生了變化，這是否矛盾呢？

結(jié)論：
1：任意向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)系，只與其相對位置有關(guān)。
2：當(dāng)把坐標(biāo)原點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)，這時向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).

三、〖典型例題〗
例1 已知 =(2,1), =(－3,4),求 ＋ ， － ，3 ＋4 的坐標(biāo).
解： ＋ ＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，
－ ＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，
3 ＋4 ＝3（2,1）+4（-3,4）= （6,3）+（-12,16）=(－6，19).
點(diǎn)評：利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解。

變式訓(xùn)練1：已知 ， ，求 ， 的坐標(biāo)；

例2、已知平行四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，1）、（-1，3）（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。
解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x,y）,


即 3- x=1,4-y=2
解得 x=2,y=2
所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）.

另解：由平行四邊形法則可得

所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）

點(diǎn)評：考查了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系.
變式訓(xùn)練2：已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個頂點(diǎn)。

四、〖堂小結(jié)〗
本節(jié)主要學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則：
（1）兩向量和的坐標(biāo)等于各向量對應(yīng)坐標(biāo)的和；
（2）兩向量差的坐標(biāo)等于各向量對應(yīng)坐標(biāo)的差；
（3）實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于原向量的對應(yīng)坐標(biāo)乘以該實(shí)數(shù)；
五、〖反饋測評〗
1.下列說法正確的有（ ）個
（1）向量的坐標(biāo)即此向量終點(diǎn)的坐標(biāo)
（2）位置不同的向量其坐標(biāo)可能相同
（3）一個向量的坐標(biāo)等于它的始點(diǎn)坐標(biāo)減去它的終點(diǎn)坐標(biāo)
（4）相等的向量坐標(biāo)一定相同
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知A（-1，5）和向量 =(2,3)，若 =3 ，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為__________。
A．(7,4) B．(5,4) C．(7,14) D．(5,14)
3．已知點(diǎn) ， 及 ， ， ，求點(diǎn) 、 、 的坐標(biāo)。

〖板書設(shè)計(jì)〗

【作業(yè)布置】本101頁1---3T
臨清三中數(shù)學(xué)組 編寫人：張?jiān)?審稿人： 劉桂江 李懷奎
2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：通過預(yù)習(xí)會初步的進(jìn)行向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：
1、知識回顧：平面向量坐標(biāo)表示
2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則：
若 =(x1, y1) ， =(x2, y2)則 ＋ ＝____________________,
－ ＝________________________,λ ＝_____________________.
三、提出疑惑
同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑內(nèi)容

內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．能準(zhǔn)確表述向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則，并能進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力；
2．通過學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)表示，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)形結(jié)合思想，認(rèn)識事物之間的相聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力.
二、學(xué)習(xí)內(nèi)容
1. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則：
思考1：設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若 =(x1, y1) ， =(x2, y2)，則 ＝x1i＋y1j， ＝x2i＋y2j，根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量 ＋ ， － ，λ （λ∈R）如何分別用基底i、j表示？

思考2：根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量 ＋ ， － ，λ 的坐標(biāo)分別如何？

思考3：已知點(diǎn)A(x1, y1),B(x2, y2)，那么向量 的坐標(biāo)如何？

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則：
（1）兩向量和的坐標(biāo)等于_______________________；
（2）兩向量差的坐標(biāo)等于_______________________；
（3）實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于__________________________；
思考4：一個向量平移后坐標(biāo)不變，但起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生了變化，這是否矛盾呢？

2．典型例題
例1 ：已知 =(2,1), =(－3,4),求 ＋ ， － ，3 ＋4 的坐標(biāo).

例2：已知平行四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

三、反思
（1）引進(jìn)向量的坐標(biāo)后，向量的基本運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的基本運(yùn)算，可以解方程，可以解不等式，總之問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的領(lǐng)域之中。
（2）要把點(diǎn)坐標(biāo)與向量坐標(biāo)區(qū)分開，兩者不是一個概念。

四、當(dāng)堂檢測
1.下列說法正確的有（ ）個
（1）向量的坐標(biāo)即此向量終點(diǎn)的坐標(biāo)
（2）位置不同的向量其坐標(biāo)可能相同
（3）一個向量的坐標(biāo)等于它的始點(diǎn)坐標(biāo)減去它的終點(diǎn)坐標(biāo)
（4）相等的向量坐標(biāo)一定相同
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知A（-1，5）和向量 =(2,3)，若 =3 ，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為__________。
A．(7,4) B．(5,4) C．(7,14) D．(5,14)
3．已知點(diǎn) ， 及 ， ， ，求點(diǎn) 、 、 的坐標(biāo)。

后練習(xí)與提高
1．已知 ， ，則 等于（ ）
A． B．
C． D．
2．已知平面向量 ， ，且2 ，則 等于（ ）
A． B．
C． D．
3 已知 ， ，若 與 平行，則 等于（ ）．
A. 1 B. -1 C.1或-1 D.2

4.已知 ， ，則 的坐標(biāo)為____________.
5.已知：點(diǎn)A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若AP=AB+λAC(λ∈R) ，則λ為_______時，點(diǎn)P在一、三象限角平分線上.
6 . 已知 ， ， ， ，則以 ， 為基底，求 .

參考答案：
1.A 2.D 3.C 4.(-1,2) 5.
6.解：令 ，則 .
， ∴ ，
∴ ， ∴ .

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoer/47805.html

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