①② ①③ ②③ ①②③
2.下列命題正確的是( )
若 與 共線, 與 共線,則 與 共線;
向量 共面就是它們所在的直線共面;
零向量沒有確定的方向;
若 ,則存在唯一的實數 使得 ;
3.如圖:在平行六面體 中, 為 與 的交點。若 , , ,則下列向量中與 相等的向量是( )
4.已知: 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.
5.(1)已知兩個非零向量 =(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3),它們平行的充要條件是( 。
A. : = : B.a1?b1=a2?b2=a3?b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零實數k,使 =k
(2)已知向量 =(2,4,x), =(2,y,2),若 =6, ⊥ ,則x+y的值是( 。
A. -3或1 B.3或-1 C. -3 D.1
(3)下列各組向量共面的是( )
A. =(1,2,3), =(3,0,2), =(4,2,5)
B. =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1)
C. =(1,1,0), =(1,0,1), =(0,1,1)
D. =(1,1,1), =(1,1,0), =(1,0,1)
例6.已知空間三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4)。設 = , = ,(1)求 和 的夾角 ;(2)若向量k + 與k -2 互相垂直,求k的值.
7.(1)設向量 與 的夾角為 , , ,
則 。
8.(1)已知a、b、c為正數,且a+b+c=1,求證: + + ≤4 。
(2)已知F1=i+2j+3k,F(xiàn)2=-2i+3j-k,F(xiàn)3=3i-4j+5k,若F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3共同作用于同一物體上,使物體從點1(1,-2,1)移到點2(3,1,2),求物體合力做的功。
9.如圖,直三棱柱 中, 求證:
10.過△ABC的重心任作一直線分別交AB,AC于點D、E.若 , , ,則 的值為( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
13.已知a=( , ),b=( , ),a與b之間有關系式ka+b= a-kb,其中k>0.
(1)用k表示a、b;
(2)求a?b的最小值,并求此時,a與b的夾角 的大小.
由已知 .
14.. 已知 , , , 。
(1)求 ;
(2)設∠BAC=θ,且已知cos(θ+x)= , ,求sinx
1.有以下命題:①如果向量 與任何向量不能構成空間向量的一組基底,那么 的關系是不共線;② 為空間四點,且向量 不構成空間的一個基底,那么點 一定共面;③已知向量 是空間的一個基底,則向量 ,也是空間的一個基底。其中正確的命題是( )
①② ①③ ②③ ①②③
解析:對于①“如果向量 與任何向量不能構成空間向量的一組基底,那么 的關系一定共線”;所以①錯誤。②③正確。
點評:該題通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件,為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯(lián)系
2.下列命題正確的是( )
若 與 共線, 與 共線,則 與 共線;
向量 共面就是它們所在的直線共面;
零向量沒有確定的方向;
若 ,則存在唯一的實數 使得 ;
解析:A中向量 為零向量時要注意,B中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣,D中需保證 不為零向量
答案C。
點評:零向量是一個特殊的向量,時刻想著零向量這一特殊情況對解決問題有很大用處。像零向量與任何向量共線等性質,要兼顧
題型2:空間向量的基本運算
3.如圖:在平行六面體 中, 為 與 的交點。若 , , ,則下列向量中與 相等的向量是( )
解析:顯然 ;
答案為A。
點評:類比平面向量表達平面位置關系過程,掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問題,使復雜的線面空間關系代數化,本題考查的是基本的向量相等,與向量的加法.考查學生的空間想象能力
4.已知: 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.
解: ∥ ,,且 即
又 不共面,
點評:空間向量在運算時,注意到如何實施空間向量共線定理。
題型3:空間向量的坐標
5.(1)已知兩個非零向量 =(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3),它們平行的充要條件是( )
A. : = : B.a1?b1=a2?b2=a3?b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零實數k,使 =k
(2)已知向量 =(2,4,x), =(2,y,2),若 =6, ⊥ ,則x+y的值是( 。
A. -3或1 B.3或-1 C. -3 D.1
(3)下列各組向量共面的是( 。
A. =(1,2,3), =(3,0,2), =(4,2,5)
B. =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1)
C. =(1,1,0), =(1,0,1), =(0,1,1)
D. =(1,1,1), =(1,1,0), =(1,0,1)
解析:(1)D;點撥:由共線向量定線易知;
(2)A 點撥:由題知 或 ;
(3)A 點撥:由共面向量基本定理可得
點評:空間向量的坐標運算除了數量積外就是考察共線、垂直時參數的取值情況
6.已知空間三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4)。設 = , = ,(1)求 和 的夾角 ;(2)若向量k + 與k -2 互相垂直,求k的值.
思維入門指導:本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應用,套用公式即可得到所要求的結果.
解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4), = , = ,
∴ =(1,1,0), =(-1,0,2).
(1)cos = = - ,
∴ 和 的夾角為- 。
(2)∵k + =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),
k -2 =(k+2,k,-4),且(k + )⊥(k -2 ),
∴(k-1,k,2)?(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。
則k=- 或k=2。
點撥:第(2)問在解答時也可以按運算律做。( + )(k -2 )=k2 2-k ? -2 2=2k2+k-10=0,解得k=- ,或k=2。
題型4:數量積
7.(1)設向量 與 的夾角為 , , ,
則 。
.解:設向量 與 的夾角為 且 ∴ ,則 = .
(2)設空間兩個不同的單位向量 =(x1,y1,0), =(x2,y2,0)與向量 =(1,1,1)的夾角都等于 。(1)求x1+y1和x1y1的值;(2)求< , >的大小(其中0<< , ><π 。
解析
(2)解:(1)∵ = =1,∴x +y =1,∴x =y =1.
又∵ 與 的夾角為 ,∴ ? = cos = = .
又∵ ? =x1+y1,∴x1+y1= 。
另外x +y =(x1+y1)2-2x1y1=1,∴2x1y1=( )2-1= .∴x1y1= 。
(2)cos< , >= =x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1= ,x1y1= .∴x1,y1是方程x2- x+ =0的解.
∴ 或 同理可得 或
∵ ≠ ,∴ 或
∴cos< , >= ? + ? = + = .
∵0≤< , >≤π,∴< , >= 。
評述:本題考查向量數量積的運算法則
題型5:空間向量的應用
8.(1)已知a、b、c為正數,且a+b+c=1,求證: + + ≤4 。
(2)已知F1=i+2j+3k,F(xiàn)2=-2i+3j-k,F(xiàn)3=3i-4j+5k,若F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3共同作用于同一物體上,使物體從點1(1,-2,1)移到點2(3,1,2),求物體合力做的功。
解析:(1)設 =( , , ), =(1,1,1),
則 =4, = .
∵ ? ≤ ? ,
∴ ? = + + ≤ ? =4 .
當 = = 時,即a=b=c= 時,取“=”號。
(2)解:W=F?s=(F1+F2+F3)? =14。
點評:若 =(x,y,z), =(a,b,c),則由 ? ≤ ? ,得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式(n=3)。本題考查 ? ≥ ? 的應用,解題時要先根據題設條件構造向量 , ,然后結合數量積性質進行運算。空間向量的數量積對應做功問題
9.如圖,直三棱柱 中, 求證:
證明:
同理
又
設 為 中點,則
又
點評:從上述例子可以看出,利用空間向量來解決位置關系問題,要用到空間多邊形法則,向量的運算,數量積以及平行,相等和垂直的條件
10.過△ABC的重心任作一直線分別交AB,AC于點D、E.若 , , ,則 的值為( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
解析:取△ABC為正三角形易得 =3.選B.
評析:本題考查向量的有關知識,如果按常規(guī)方法就比較難處理,但是用特殊值的思想就比較容易處理,考查學生靈活處理問題的能力.
11.如圖,設P、Q為△ABC內的兩點,且 ,
= + ,則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為
A. B. C. D.
如下圖,設 , ,則 .
由平行四邊形法則,知NP∥AB,所以 = ,
同理可得 .故 ,選B.
3. 是平面內不共線兩向量,已知 ,若 三點共線,則 的值是
A.2B. C. D.
A ,又A、B、D三點共線,則 .即 ,∴ ,故選 .
【總結點評】本題主要考查共線向量的定義和平面向量基本定理的運用. 要求我們熟記公式,掌握常見變形技巧與方法.
12、已知平面向量 =( ,?1), = ( ).
(1)求 ;
(2)設 , (其中 ),若 ,試求函數關系式 并解不等式 .(1) ;
(2)由 得, ,
所以 ;
變形得: ,解得 .
13.已知a=( , ),b=( , ),a與b之間有關系式ka+b= a-kb,其中k>0.
(1)用k表示a、b;
。2)求a?b的最小值,并求此時,a與b的夾角 的大。
由已知 .
∵ ,∴ .∴ .
∵ k>0, ∴ .
此時 ∴ . ∴ =60°.
14.. 已知 , , , 。
(1)求 ;
(2)設∠BAC=θ,且已知cos(θ+x)= , ,求sinx
解:(1)由已知
∴
∵ ∴CD⊥AB,在Rt△BCD中BC2=BD2+CD2,
又CD2=AC2-AD2, 所以BC2=BD2+AC2-AD2=49,……4分
所以 ……6分
(2)在△ABC中, ∴ ……8分
而 如果 ,
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