1.3二項(xiàng)式定理
學(xué)習(xí)目標(biāo):
1 掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。
2.能靈活運(yùn)用展開式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題
學(xué)習(xí)重點(diǎn):如何靈活運(yùn)用展開式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題
學(xué)習(xí)難點(diǎn):如何靈活運(yùn)用展開式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題
授類型:新授
時安排:1時
教 具:多媒體、實(shí)物投影儀
過程:
一、復(fù)習(xí)引入:
1.二項(xiàng)式定理及其特例:
(1) ,
(2) .
2.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式:
3.求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時,要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對 的限制;求有理項(xiàng)時要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性
4 二項(xiàng)式系數(shù)表(楊輝三角)
展開式的二項(xiàng)式系數(shù),當(dāng) 依次取 …時,二項(xiàng)式系數(shù)表,表中每行兩端都是 ,除 以 外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和
5.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì):
展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是 , , ,…, . 可以看成以 為自變量的函數(shù) ,定義域是 ,例當(dāng) 時,其圖象是 個孤立的點(diǎn)(如圖)
(1)對稱性.與首末兩 端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等(∵ ).
直線 是圖象的對稱軸.
(2)增減性與最大值:當(dāng) 是偶數(shù)時,中間一項(xiàng) 取得最大值;當(dāng) 是奇數(shù)時,中間兩項(xiàng) , 取得最大值.
(3)各二項(xiàng)式系數(shù)和:
∵ ,
令 ,則
二、講解范例:
例1. 設(shè) ,
當(dāng) 時,求 的值
解:令 得:
,
∴ ,
點(diǎn)評:對于 ,令 即 可得各項(xiàng)系數(shù)的和 的值;令 即 ,可得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系
例2.求證: .
證(法一)倒序相加:設(shè) ①
又∵ ②
∵ ,∴ ,
由①+②得: ,
∴ ,即 .
(法二):左邊各組合數(shù)的通項(xiàng)為
,
∴ .
例3.已知: 的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大 .
(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)求展開式中系 數(shù)最大的項(xiàng)
解:令 ,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為 ,
又展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為 ,
∴ , .
(1)∵ ,展開式共 項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng),
∴ , ,
(2)設(shè)展開式中第 項(xiàng)系數(shù)最大,則 ,
∴ ,∴ ,
即展開式中第 項(xiàng) 系數(shù)最大, .
例4.已知 ,
求證:當(dāng) 為偶數(shù)時, 能被 整除
分析:由二項(xiàng)式定理的逆用化簡 ,再把 變形,化為含有因數(shù) 的多項(xiàng)式
∵ ,
∴ ,∵ 為偶數(shù),∴設(shè) ( ),
∴
( ) ,
當(dāng) = 時, 顯然能被 整除,
當(dāng) 時,( )式能被 整除,
所以,當(dāng) 為偶數(shù)時, 能被 整除
三、堂練習(xí):
1. 展開式中 的系數(shù)為 ,各項(xiàng)系數(shù)之和為 .
2.多項(xiàng)式 ( )的展開式中, 的系數(shù)為
3.若二項(xiàng)式 ( )的展開式中含有常數(shù)項(xiàng),則 的最小值為( )
A.4 B.5 C.6 D.8
4.某企業(yè)欲實(shí)現(xiàn)在今后10年內(nèi)年產(chǎn)值翻一番的目標(biāo),那么該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率最低應(yīng) ( )
A.低于5% B.在5%~6%之間
C.在6%~8%之間 D.在8%以上
5.在 的展開式中,奇數(shù)項(xiàng)之和為 ,偶數(shù)項(xiàng)之和為 ,則 等于( )
A.0 B. C. D.
6.求和: .
7.求證:當(dāng) 且 時, .
8.求 的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)
答案:1. 45, 0 2. 0 .提示:
3. B 4. C 5. D 6.
7. (略) 8.
四、小結(jié) :二項(xiàng)式定理體現(xiàn)了二項(xiàng)式的正整數(shù)冪的展開式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系,涉 及到二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)和系數(shù)的綜合問題,只需運(yùn)用通項(xiàng)公式和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對條進(jìn)行 逐個節(jié)破,對于與組合數(shù)有關(guān)的和的問題,賦值法是常用且重要的方法,同時注意二項(xiàng)式定理的逆用
五、后作業(yè) :
1.已知 展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和等于 的展開式的常數(shù)項(xiàng),而 展開式的系數(shù)的最大的項(xiàng)等于 ,求 的值
答案:
2.設(shè)
求:① ② .
答案:① ; ②
3.求值: .
答案:
4.設(shè) ,試求 的展開式中:
(1)所有項(xiàng)的系數(shù)和;
(2)所有偶次項(xiàng)的系數(shù)和及所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和
答案:(1) ;
(2)所有偶次項(xiàng)的系數(shù)和為 ;
所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和為
六、板書設(shè)計(jì)(略)
七、后記:
本文來自:逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaoer/51058.html
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