中山市高二級(jí)2015—2014學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試第Ⅰ卷（選擇題共50分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．“且”是“”的（ ）.A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，實(shí)軸長(zhǎng)6，焦距長(zhǎng)10，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）.A．B． C． D． 3．曲線在點(diǎn)處的切線傾斜角為（ ）.A．B．C．D．4．如果函數(shù)y=ax2+bx+a的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則點(diǎn)（a,b）在aOb平面上的區(qū)域?yàn)椋ㄗⅲ合铝懈鬟x項(xiàng)的區(qū)域均不含邊界，也不含y軸）（　�。�.5．海上有兩個(gè)小島相距，從島望島和島所成的視角為，從島望島和島所成的視角為，則島和島之間的距離=（ ）． A．10B．C．20D．6．已知且成等比數(shù)列，則有（ ）.A．最大值B．最大值C．最小值 D．最小值7．某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10 km處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在距離車站（　　）.A．4 kmB．5 kmC．6 kmD．7 km8．方程與在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（ ）.A B C D9．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則到F2 的距離為（ ）.A．B．C．D．410．某同學(xué)對(duì)教材《選修1-1》上所研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行變式研究，并結(jié)合TINspire圖形計(jì)算器作圖進(jìn)行直觀驗(yàn)證（如右圖所示），根據(jù)你所學(xué)的知識(shí)，指出下列錯(cuò)誤的結(jié)論是（ ）.A．的極大值為B．的極小值為C. 的單調(diào)遞減區(qū)間為D. 在區(qū)間上的最大值為第Ⅱ卷（非選擇題共100分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡相應(yīng)橫線上）11．在等差數(shù)列中，若，則數(shù)列的前9項(xiàng)的和為 . 12. 若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 . 13．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝6，那么AB等于 ．14．在△ABC中，有等式：① asinA=bsinB；② bsinC=csinB；③ acosB=bcosA；④. 其中恒成立的等式序號(hào)為________. 三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.）15．（13分）已知函數(shù)y=x3－3x2.（1）求函數(shù)的極小值；（2）求函數(shù)的遞增區(qū)間. 16．（13分） 如圖，在樹叢中為了測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)之間的距離，觀察者找到一個(gè)點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，B；找到一個(gè)點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，C；找到一個(gè)點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B，C. 并測(cè)量得到圖中的一些數(shù)據(jù)，此外，.（1）求的面積；（2）求A、B兩點(diǎn)之間的距離.17．（13分）已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為.（1）若成等比數(shù)列，求；（2）若，求的取值范圍.18．（13分）人們生活水平的提高，越來注重科學(xué)飲食. 營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白質(zhì)，0.06 kg的脂肪. 1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白質(zhì)，0.14 kg脂肪，花費(fèi)28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白質(zhì)，0.07 kg脂肪，花費(fèi)21元. 為了滿足營(yíng)養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，每天需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg？19．（14分）已知函數(shù).（1）求的最小值；（2）若曲線在點(diǎn))處與直線相切，求與的值.20．（14分）已知直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)O與直線l垂直的直線交拋物線C于點(diǎn).如右圖所示.（1）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的直線與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）過拋物線的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線，過這兩條直線與拋物線的交點(diǎn)A、B的直線AB是否恒過定點(diǎn)，如果是，指出此定點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；如果不是，請(qǐng)說明理由. 中山市高二級(jí)2015—2015學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試高二數(shù)學(xué)試卷（文科）答案一、選擇題：ADACB CBACD二、填空題：11. 162； 12. ； 13. 8； 14. ②④.15. 解：（1） ∵ y=x3－3x2， ∴ =3x2－6x，……………………………（3分）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. …………………………………（6分）∴ 當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值-4. …………………………………………………（8分）（2）由=3x2-6x >0，解得x2， …………………………………………（11分）∴ 遞增區(qū)間是，. ………………………………………………（13分）16. 解：（1）中， . ………………………………（2分）中， . ………………………………………………（4分）∴ 的面積為 . ………………（6分）（2）中， ……………（9分） = = ………………………………………（11分） = =. ……………………………………………………………………（13分）17. 解：（1）因?yàn)閿?shù)列的公差，且成等比數(shù)列，所以， …………………………………………（3分）即，解得或. ………………………………………（6分）（2）因?yàn)閿?shù)列的公差，且, 所以， …………………………………………（9分）即，解得. ………………………………（13分）18. 解：設(shè)每天食用kg食物A，kg食物B，總花費(fèi)為元，則目標(biāo)函數(shù)為，且滿足約束條件， ………（3分）整理為， ………（5分）作出約束條件所表示的可行域，如右圖所示. ………………（7分）將目標(biāo)函數(shù)變形為. 如圖，作直線，當(dāng)直線平移經(jīng)過可行域，在過點(diǎn)M處時(shí)，軸上截距最小，即此時(shí)有最小值. ………………………………（9分）解方程組，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為. ……………………（12分）∴ 每天需要同時(shí)食用食物A約kg，食物B約kg. ……………（13分）19. 解：（1）由，得. …………………（2分）令，得. ………………………………………………………………（4分）與隨x的變化情況如下: ……………………………………………………（6分）所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，是的最小值. ……………………………………………………………………………………（7分）（2）因?yàn)榍�線在點(diǎn)處與直線相切，所以，， ……………………………………（10分）解得，. ……………………………………………………………（14分）20. 解：（1）拋物線的方程化為，所以，. ………（2分）∴ 拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為. ……………………………………………………（4分）（2）聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為. ………………………………（6分）聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為. ……………………………………（7分）所以直線AB的方程為， ……………………………………（8分）令，解得. ∴ 點(diǎn)M的坐標(biāo)為. …………………………………（9分）（3）結(jié)論：過拋物線的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線，過這兩條直線與拋物線的交點(diǎn)的直線AB恒過定點(diǎn). ………………………………………（10分）證明如下：設(shè)過拋物線的頂點(diǎn)的一條直線為 （），則另一條為聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為. ………………………………（11分）聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為. ………………………………（12分）所以直線AB的方程為， ………………………………（13分）令，解得. ∴ 直線AB恒過定點(diǎn). ………………………（14分）廣東省中山市2015-2016學(xué)年高二上學(xué)期期末考試（數(shù)學(xué)文）word版
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