2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征
〖目標(biāo)〗
1. 正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差
2. 能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并做出合理的解釋?zhuān)?br />3. 會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)。
〖重難點(diǎn)〗
教學(xué)重點(diǎn) 用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。
教學(xué)難點(diǎn) 能應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。
〖教學(xué)過(guò)程〗
一、復(fù)習(xí)回顧
作頻率分布直方圖分幾個(gè)步驟？各步驟需要注意哪些問(wèn)題？
二、創(chuàng)設(shè)情境
在一次射擊比賽中,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下?
甲運(yùn)動(dòng)員?7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙運(yùn)動(dòng)員?9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？上節(jié)我們學(xué)習(xí)了用圖表的方法研究，為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們這節(jié)要通過(guò)樣本的數(shù)據(jù)對(duì)總體的數(shù)字特。
三、 新知探究
眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
眾數(shù)—一組數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；在頻率分布直方圖中，我們?nèi)∽罡叩哪莻�(gè)小長(zhǎng)方形橫坐標(biāo)的中點(diǎn)。
中位數(shù)——當(dāng)一組數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)等于中間的數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)個(gè)時(shí)等于中間兩數(shù)的平均數(shù)；在頻率分布直方圖中，是使圖形左右兩邊面積相等的線所在的橫坐標(biāo)。
平均數(shù)——將所有數(shù)相加再除以這組數(shù)的個(gè)數(shù)；在頻率分布直方圖中，等于每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以其底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和。
思考探究：
分別利用原始數(shù)據(jù)和頻率分布直方圖求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，觀察所得的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么
問(wèn)題？為什么會(huì)這樣呢？
你能說(shuō)說(shuō)這幾個(gè)數(shù)據(jù)在描述樣本信息時(shí)有什么特點(diǎn)嗎？由此你有什么樣的體會(huì)？
答：（1）從頻率分布直方圖得到的眾數(shù)和中位數(shù)與從數(shù)據(jù)中得到的不一樣，因?yàn)轭l率分布直方圖損失了一部分樣本信息，所以不如原始數(shù)據(jù)準(zhǔn)確。
（2）眾數(shù)和中位數(shù)不受極端值的影響，平均數(shù)反應(yīng)樣本總體的信息，容易受極端值的影響。
練一練：
假如你是一名交通部門(mén)的工作人員，你打算向市長(zhǎng)報(bào)告國(guó)家對(duì)本市26個(gè)公路項(xiàng)目投資的平均資金數(shù)額，其中一條新公路的建設(shè)投資為2000萬(wàn)元人民幣，另外25個(gè)項(xiàng)目的投資是20～100萬(wàn)元。中位數(shù)是25萬(wàn)元，平均數(shù)是100萬(wàn)元，眾數(shù)是20萬(wàn)元。你會(huì)選擇哪一種數(shù)字特征 表示國(guó)家對(duì)每一個(gè)項(xiàng)目投資的平均金額？
解析：平均數(shù)。
一、標(biāo)準(zhǔn)差、方差
在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下?
甲運(yùn)動(dòng)員?7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙運(yùn)動(dòng)員?9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？
我們知道， 。
兩個(gè)人射擊的平均成績(jī)是一樣的。那么，是否兩個(gè)人就沒(méi)有水平差距呢？（觀察 圖2.2－7）直觀上看，還是有差異的。很明顯，甲的成績(jī)比較分散，乙的成績(jī)相對(duì)集中，因此我們從另外的角度考察這兩組數(shù)據(jù)。
1、標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示。
思考探究：
1、標(biāo)準(zhǔn)差的大小和數(shù)據(jù)的離散程度有什么關(guān)系？
2、標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為０的樣本數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？
答：（1）顯然，標(biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標(biāo)準(zhǔn)差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較小。
（2）從標(biāo)準(zhǔn)差的定義和計(jì)算公式都可以得出： 。當(dāng) 時(shí)，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)
都等于樣本平均數(shù)。
2、方差
在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差。
四、例題精析
例1：農(nóng)場(chǎng)種植的甲乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田連續(xù)6年的年平均產(chǎn)量如下：
甲：900，920，900，850，910，920
乙：890，960，950，850，860，890
那種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定？
[分析]采用求標(biāo)準(zhǔn)差的方法
解：
所以甲水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。
點(diǎn)評(píng)：在平均值相等的情況下，比較方差或標(biāo)準(zhǔn)差。
變式訓(xùn)練：在某項(xiàng)體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為
（A）92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8
【答案】B
【解析】由題意知，所剩數(shù)據(jù)為90，90，93，94，93，所以其平均值為
90+ =92；方差為 2.8，故選B。
例2、例1.為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為
由此得到頻率分布直方圖如圖3，則這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在
的人數(shù)是 .
(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù) .
(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù) .
點(diǎn)評(píng)：在直方圖中估計(jì)中位數(shù)、平均數(shù)。
變式訓(xùn)練：
某醫(yī)院急診中心關(guān)于其病人等待急診的時(shí)間記錄如下：
等待時(shí)間（分鐘）
人數(shù)48521
用上述分組資料計(jì)算得病人平均等待時(shí)間的估計(jì)值 = ，病人等待時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 =
五、反饋測(cè)評(píng)
1． 在一次知識(shí)競(jìng)賽中，抽取20名選手，成績(jī)分布如下：
成績(jī)678910
人數(shù)分布12467
則選手的平均成績(jī)是 （ ）
A．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生兒的身長(zhǎng)（cm）分別為50，51，52，55，53，54，58，54，則新生兒平均身長(zhǎng)的估計(jì)為 ，約有一半的新生兒身長(zhǎng)大于等于 ，新生兒身長(zhǎng)的最可能值是 .
3.．樣本 的平均數(shù)為5，方差為7，則3 的平均數(shù)、方差，標(biāo)準(zhǔn)差分別為
4．某工廠甲，乙兩個(gè)車(chē)間包裝同一產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30min抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：甲車(chē)間：102，101，99，103，98，99，98；乙車(chē)間：110，105，90，85，75，115，110.
（1）這樣的抽樣是何種抽樣方法？
（2）估計(jì)甲、乙兩車(chē)間的均值與方差，并說(shuō)明哪個(gè)車(chē)間的產(chǎn)品較穩(wěn)定.
六、堂小結(jié)
1、在頻率分布直方圖中，如何求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？
2、標(biāo)準(zhǔn)差的公式；標(biāo)準(zhǔn)差的大小和數(shù)據(jù)的離散程度有什么關(guān)系？
〖板書(shū)設(shè)計(jì)〗
〖書(shū)面作業(yè)〗
本 6 7
2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征
前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：
通過(guò)預(yù)習(xí)，初步理解眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的概念。
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：
1、知識(shí)回顧：
作頻率分布直方圖分幾個(gè)步驟？各步驟需要注意哪些問(wèn)題？
2、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念
眾 數(shù):¬¬¬____________________________________________________________________
中位數(shù):___________________________________________________________________
平均數(shù):____________________________________________________________________
3.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系：
眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是______________________________________
中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的________應(yīng)該相等，由此可估計(jì)中位數(shù)的值。
平均數(shù)是直方圖的___________.
4.標(biāo)準(zhǔn)差、方差
標(biāo)準(zhǔn)差 s=_________________________________________________________________
方 差s2=_________________________________________________________________
三、提出疑惑
同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中
疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容
內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1. 能說(shuō)出樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差
2. 能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并做出合理的解釋?zhuān)?br />3. 會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)。
二、學(xué)習(xí)內(nèi)容
1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
思考1：分別利用原始數(shù)據(jù)和頻率分布直方圖求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，觀察所得的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么問(wèn)題？為什么會(huì)這樣呢？
思考2： 你能說(shuō)說(shuō)這幾個(gè)數(shù)據(jù)在描述樣本信息時(shí)有什么特點(diǎn)嗎？由此你有什么樣的體會(huì)？
練一練：
假如你是一名交通部門(mén)的工作人員，你打算向市長(zhǎng)報(bào)告國(guó)家對(duì)本市26個(gè)公路項(xiàng)目投資的平均資金數(shù)額，其中一條新公路的建設(shè)投資為2000萬(wàn)元人民幣，另外25個(gè)項(xiàng)目的投資是20～100萬(wàn)元。中位數(shù)是25萬(wàn)元，平均數(shù)是100萬(wàn)元，眾數(shù)是20萬(wàn)元。你會(huì)選擇哪一種數(shù)字特征表示國(guó)家對(duì)每一個(gè)項(xiàng)目投資的平均金額？
2. 標(biāo)準(zhǔn)差、方差
在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下?
甲運(yùn)動(dòng)員?7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙運(yùn)動(dòng)員?9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？
思考1：標(biāo)準(zhǔn)差的大小和數(shù)據(jù)的離散程度有什么關(guān)系？
思考2：標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為０的樣本數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？
3、〖典型例題〗
例1.為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為
由此得到頻率分布直方圖如圖3，則這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在
的人數(shù)是 .
(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù) .
(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù) .
例2：農(nóng)場(chǎng)種植的甲乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田連續(xù)6年的年平均產(chǎn)量如下：
甲：900，920，900，850，910，920
乙：890，960，950，850，860，890
那種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定？
三、反思總結(jié)
1、 在頻率分布直方圖中，如何求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？
2、標(biāo)準(zhǔn)差的公式；標(biāo)準(zhǔn)差的大小和數(shù)據(jù)的離散程度有什么關(guān)系?
四、當(dāng)堂檢測(cè)
1．在一次知識(shí)競(jìng)賽中，抽取20名選手，成績(jī)分布如下：
成績(jī)678910
人數(shù)分布12467
則選手的平均成績(jī)是 （ ）
A．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生兒的身長(zhǎng)（cm）分別為50，51，52，55，53，54，58，54，則新生兒平均身長(zhǎng)的估計(jì)為 ，約有一半的新生兒身長(zhǎng)大于等于 ，新生兒身長(zhǎng)的最可能值是 .
3．某醫(yī)院急診中心關(guān)于其病人等待急診的時(shí)間記錄如下：
等待時(shí)間（分鐘）
人數(shù)48521
用上述分組資料計(jì)算得病人平均等待時(shí)間的估計(jì)值 = ，病人等待時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 =
4．樣本 的平均數(shù)為5，方差為7，則3 的平均數(shù)、方差，標(biāo)準(zhǔn)差分別為
5．某工廠甲，乙兩個(gè)車(chē)間包裝同一產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30min抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：甲車(chē)間：102，101，99，103，98，99，98；乙車(chē)間：110，105，90，85，75，115，110.
（1）這樣的抽樣是何種抽樣方法？
（2）估計(jì)甲、乙兩車(chē)間的均值與方差，并說(shuō)明哪個(gè)車(chē)間的產(chǎn)品較穩(wěn)定.
后練習(xí)與提高
1.某人5次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為 已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則 的值為（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
解：由平均數(shù)公式為10，得 ，則 ，又由于方差為2，則 得
所以有 ，故選D.
2.某房間中10個(gè)人的平均身高為1.74米，身高為1.85米的第11個(gè)人，進(jìn)入房間后，這11個(gè)人的平均身高是多少？
解：原的10個(gè)人的身高之和為17.4米，所以，這11個(gè)人的平均身高為 =1.75.即這11個(gè)人的平均身高為1075米
[例4]若有一個(gè)企業(yè)，70%的人年收入1萬(wàn)，25%的人年收入3萬(wàn)，5%的人年收入11萬(wàn)，求這個(gè)企業(yè)的年平均收入及年收入的中位數(shù)和眾數(shù)
解：年平均收入為1 （萬(wàn)）；中位數(shù)和眾數(shù)均為1萬(wàn)
3.下面是某快餐店所有工作人員的收入表：
老板大廚二廚采購(gòu)員雜工服務(wù)生會(huì)計(jì)
3000元450元350元400元320元320元410元
（1）計(jì)算所有人員的月平均收入；
（2）這個(gè)平均收入能反映打工人員的月收入的一般水平嗎？為什么？
（3）去掉老板的收入后，再計(jì)算平均收入，這能代表打工人員的月收入的水平嗎？
（4）根據(jù)以上計(jì)算，以統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)對(duì)（3）的結(jié)果作出分析
解：（1）平均收入 （3000+450+350+400+320+320+410）=750元
（2）這個(gè)平均收入不能反映打工人員的月收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因?yàn)槔习迨杖胩貏e高，這是一個(gè)異常值，對(duì)平均收入產(chǎn)生了較大的影響，并且他不是打工人員
（3）去掉老板后的月平均收入 （450+350+400+320+320+410）=375元.這能代表打工人員的月收入水平
（4）由上可見(jiàn)，個(gè)別特殊數(shù)據(jù)可能對(duì)平均值產(chǎn)生大的影響，因此在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，對(duì)異常值要進(jìn)行專(zhuān)門(mén)討論，有時(shí)應(yīng)剔除之
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