2 能夠應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；?
3 能夠利用正、余弦定理判斷三角形的形狀；?
4 能夠利用正、余弦定理證明三角形中的三角恒等式 ?
重點(diǎn)：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)的轉(zhuǎn)化方向
教學(xué)難點(diǎn): 三角函數(shù)公式變形與正、余弦定理的聯(lián)系 ?
教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)式?
1 啟發(fā)學(xué)生在證明三角形問題或者三角恒等式時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理的適用題型與所證結(jié)論的聯(lián)系，并注意特殊正、余弦關(guān)系的應(yīng)用，比如互補(bǔ)角的正弦值相等，互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)等；?
2 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)三角恒等式的證明或者三角形形狀的判斷，重在發(fā)揮正、余弦定理的邊角互換作用
教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：
正弦定理：
余弦定理：
，
二、講解范例：例1在任一△ABC中求證：
證：左邊=
= =0=右邊
例2 在△ABC中，已知 ， ，B=45? 求A、C及c
解一：由正弦定理得：
∵B=45?<90? 即b當(dāng)A=60?時(shí)C=75?
當(dāng)A=120?時(shí)C=15?
解二：設(shè)c=x由余弦定理
將已知條件代入，整理：
解之： 當(dāng) 時(shí)
從而A=60? ，C=75? 當(dāng) 時(shí)同理可求得：A=120? ，C=15?
例3 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程 的兩個(gè)根，且
2cos(A+B)=1 求（1）角C的度數(shù) （2）AB的長度 （3）△ABC的面積
解：（1）cosC=cos[??(A+B)]=?cos(A+B)=? ∴C=120?
（2）由題設(shè)：
∴AB2=AC2+BC2?2AC?BC?osC
即AB=
（3）S△ABC=
例4 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求BC的長
解：在△ABD中，設(shè)BD=x
則
即
整理得： 解之： （舍去）
由余弦定理： ∴
例5 △ABC中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角，1?求最大角 ;
2?求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積
解：1?設(shè)三邊 且
∵C為鈍角 ∴ 解得
∵ ∴ 或3 但 時(shí)不能構(gòu)成三角形應(yīng)舍去
當(dāng) 時(shí)
2?設(shè)夾C角的兩邊為
S 當(dāng) 時(shí)S最大=
例6 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D為BC中點(diǎn)，且AD＝4，求BC邊長
分析：此題所給題設(shè)條件只有邊長，應(yīng)考慮在假設(shè)BC為ｘ后，建立關(guān)于ｘ的方程 而正弦定理涉及到兩個(gè)角，故不可用 此時(shí)應(yīng)注意余弦定理在建立方程時(shí)所發(fā)揮的作用 因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以BD、DC可表示為 ，然用利用互補(bǔ)角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程 ?
解：設(shè)BC邊為ｘ，則由D為BC中點(diǎn)，可得BD＝DC＝ ，
在△ADB中，cosADB＝
在△ADC中，cosADC＝
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC ?
∴
解得，ｘ＝2?, 所以，BC邊長為2
評(píng)述：此題要啟發(fā)學(xué)生注意余弦定理建立方程的功能，體會(huì)互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題型 ?
另外，對(duì)于本節(jié)的例2，也可考慮上述性質(zhì)的應(yīng)用來求解sinA，思路如下：
由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)可得 ，設(shè)BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，則由互補(bǔ)角∠ADC、∠ADB的余弦值互為相反數(shù)建立方程，求出BC后，再結(jié)合余弦定理求出cosA，再由同角平方關(guān)系求出sinA
三、課堂練習(xí)：
1 半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積為0．25，求此三角形三邊長的乘積 ?
解：設(shè)△ABC三邊為a，b，c 則Ｓ△ABC＝
∴
又 ，其中R為三角形外接圓半徑
∴ , ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1
所以三角形三邊長的乘積為1 ?
評(píng)述：由于題設(shè)條件有三角形外接圓半徑，故聯(lián)想正弦定理：
，其中R為三角形外接圓半徑，與含有正弦的三角形面積公式Ｓ△ABC＝ 發(fā)生聯(lián)系，對(duì)abc進(jìn)行整體求解
2 在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求
AB ?
解：在△ADC中，
cosC＝
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中， ∴AB＝
評(píng)述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學(xué)生注意正、余弦定理的綜合運(yùn)用
3 在△ABC中，已知cosA＝ ，sinB＝ ，求cosC的值 ?
解：∵cosA＝ ＜ ＝cos45°，0＜A＜π ∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝
∵sinB＝ ＜ ＝sin30°，0＜B＜π ∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，則B＋A＞180°與題意不符 ∴0°＜B＜30° cosB＝
∴cos（A＋B）＝cosA?cosB－sinA?sinB＝
又C＝180°－（A＋B） ?
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－
評(píng)述：此題要求學(xué)生在利用同角的正、余弦平方關(guān)系時(shí)，應(yīng)根據(jù)已知的三角函數(shù)值具體確定角的范圍，以便對(duì)正負(fù)進(jìn)行取舍，在確定角的范圍時(shí)，通常是與已知角接近的特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行比較 ?
四、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步熟悉了三角函數(shù)公式及三角形的有關(guān)性質(zhì)，綜合運(yùn)用了正、余弦定理求解三角形的有關(guān)問題，要求大家注意常見解題方法與解題技巧的總結(jié)，不斷提高三角形問題的求解能力
五、課后作業(yè)：
課后記： 1 正、余弦定理的綜合運(yùn)用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若將正弦定理代入得：sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA
這是只含有三角形三個(gè)角的一種關(guān)系式，利用這一定理解題，簡捷明快，舉例:
［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝ sinAsinC，求B的度數(shù)
解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，?
∴－2sinAsinCcosB＝ sinAsinC
∵sinAsinC≠0 ?∴cosΒ＝－ ∴B＝150°
［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值
解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°
在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，令B＝10°，C＝50°，則A＝120°
sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°
＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（ ）2＝
［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，試判定△ABC的形狀 ?
解：在原等式兩邊同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin2A，由定理得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A， ∴sin2C＝sin2B?∴B＝C故△ABC是等腰三角形 ?
2 一題多證:［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求證：△ABC為等腰三角形 ?
證法一：欲證△ABC為等腰三角形 可證明其中有兩角相等，因而在已知條件中化去邊元素，使只剩含角的三角函數(shù) 由正弦定理得a＝
∴2bcosC＝ ，即2cosC?sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC
∴sinBcosC－cosBsinC＝0 即sin（B－C）＝0，?∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）
∵B、C是三角形的內(nèi)角，?∴B＝C，即三角形為等腰三角形 ?
證法二：根據(jù)射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，
又∵a＝2bcosC?∴2bcosC＝bcosC＋ccosB?∴bcosC＝ccosB，即
又∵ ∴ 即tanB＝tanC
∵B、C在△ABC中，?∴B＝C?∴△ABC為等腰三角形 ?
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