高考要求
1 了解二元一次不等式表示平面區(qū)域
2 了解線性規(guī)劃的意義 并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)歸納
1 二元一次不等式表示平面區(qū)域:
在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P（x0，y0）
B＞0時(shí)，①Ax0+By0+C＞0，則點(diǎn)P（x0，y0）在直線的上方；②Ax0+By0+C＜0，則點(diǎn)P（x0，y0）在直線的下方
對(duì)于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），無(wú)論B為正值還是負(fù)值，我們都可以把y項(xiàng)的系數(shù)變形為正數(shù)
當(dāng)B＞0時(shí)，①Ax+By+C＞0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域；②Ax+By+C＜0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域
2 線性規(guī)劃:
求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題
滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域（類似函數(shù)的定義域）；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解 生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題
線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：
（1）根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y；
（2）找出線性約束條件；
（3）確定線性目標(biāo)函數(shù)z=f（x，y）；
（4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；
（5）利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系f（x，y）=t（t為參數(shù)）；
（6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案
題型講解
例1 求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面區(qū)域的面積
分析：依據(jù)條件畫出所表達(dá)的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點(diǎn)求其面積
解：｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化為
或 或 或
其平面區(qū)域如圖
∴面積S= ×4×4=8
點(diǎn)評(píng)：畫平面區(qū)域時(shí)作圖要盡量準(zhǔn)確，要注意邊界
例2 某人上午7時(shí)，乘摩托艇以勻速v n mile/h（4≤v≤20）從A港出發(fā)到距50 n mile的B港去，然后乘汽車以勻速w km/h（30≤w≤100）自B港向距300 km的C市駛?cè)?應(yīng)該在同一天下午4至9點(diǎn)到達(dá)C市 設(shè)乘汽車、摩托艇去所需要的時(shí)間分別是x h、y h
（1）作圖表示滿足上述條件的x、y范圍；
（2）如果已知所需的經(jīng)費(fèi)p=100+3×（5－x）+2×（8－y）（元），
那么v、w分別是多少時(shí)走得最經(jīng)濟(jì)?此時(shí)需花費(fèi)多少元?
分析：由p=100+3×（5－x）+2×（8－y）可知影響花費(fèi)的是3x+2y的取值范圍
解：（1）依題意得v= ，w= ，4≤v≤20，30≤w≤100
∴3≤x≤10， ≤y≤ ①
由于乘汽車、摩托艇所需的時(shí)間和x+y應(yīng)在9至14個(gè)小時(shí)之間，
即9≤x+y≤14 ②
因此，滿足①②的點(diǎn)（x，y）的存在范圍是圖中陰影部分（包括邊界）
（2）∵p=100+3?（5－x）+2?（8－y），
∴3x+2y=131－p
設(shè)131－p=k，那么當(dāng)k最大時(shí)，p最小 在通過圖中的陰影部分區(qū)域（包括邊界）且斜率為－ 的直線3x+2y=k中，使k值最大的直線必通過點(diǎn)（10，4），即當(dāng)x=10，y=4時(shí)，p最小
此時(shí)，v=12 5，w=30，p的最小值為93元
點(diǎn)評(píng)：線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實(shí)際問題列出表達(dá)約束條件的不等式 然后分析要求量的幾何意義
例3 某礦山車隊(duì)有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員 此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360 t礦石至冶煉廠 已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次 甲型卡車每輛每天的成本費(fèi)為252元，乙型卡車每輛每天的成本費(fèi)為160元 問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊(duì)所花成本費(fèi)最低?
分析：弄清題意，明確與運(yùn)輸成本有關(guān)的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條件，列出目標(biāo)函數(shù)，用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解
解：設(shè)每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊(duì)所花成本費(fèi)為z元，那么
z=252x+160y，
作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖
作出直線l0：252x+160y=0，把直線l向右上方平移，使其經(jīng)過可行域上的整點(diǎn)，且使在y軸上的截距最小 觀察圖形，可見當(dāng)直線252x+160y=t經(jīng)過點(diǎn)（2，5）時(shí)，滿足上述要求
此時(shí)，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5時(shí)，zmin=252×2+160×5=1304
答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊(duì)所用成本費(fèi)最低
點(diǎn)評(píng)：用圖解法解線性規(guī)劃題時(shí)，求整數(shù)最優(yōu)解是個(gè)難點(diǎn)，對(duì)作圖精度要求較高，平行直線系f（x，y）=t的斜率要畫準(zhǔn)，可行域內(nèi)的整點(diǎn)要找準(zhǔn)，最好使用“網(wǎng)點(diǎn)法”先作出可行域中的各整點(diǎn)
例4 設(shè) ，式中變量 滿足條件
求 的最大值和最小值
解：由已知，變量 滿足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平面區(qū)域，因此①所表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D中的四邊形ABCD
當(dāng) 過點(diǎn)C時(shí)， 取最小值，當(dāng) 過點(diǎn)A時(shí)， 取最大值
即當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)，
例5 某糖果公司得一條流水線不論生產(chǎn)與否每天都要支付3000元的固定費(fèi)用，它生產(chǎn)1千克糖果的成本是10元，而銷售價(jià)是每千克15元，試問：每天應(yīng)生產(chǎn)并銷售多少糖果，才能使收支平衡，即它的盈虧平衡點(diǎn)是多少？
解：設(shè)生產(chǎn) 千克的糖果的成本函數(shù)為 ，銷售 千克的糖果的收益函數(shù)為 ，在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖像，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是反映盈虧平衡的產(chǎn)銷量，
令 ，得 ，
即每天必須生產(chǎn)并銷售600千克糖果，這條流水線才能做到盈虧平衡，從圖中可以看出，當(dāng) 時(shí)， ，表示有盈利，反之則表示虧本
例6 某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共180m ，擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18，可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)為40元，小房間每間面積為15，可住游客3名，每名游客每天住宿費(fèi)為50元，裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元，如果他們只能籌8000元用于裝修，且游客能住滿客房，它應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，能獲最大利益？
解：設(shè)應(yīng)隔出大房間 間和小房間 間，則
且 ，
目標(biāo)函數(shù)為 ，
作出約束條件可行域：
根據(jù)目標(biāo)函數(shù) ，
作出一組平行線
當(dāng)此線經(jīng)過直線
和直線 的交點(diǎn) ，
此直線方程為 ，
由于 不是整數(shù)，所以經(jīng)過整點(diǎn)（3，8）時(shí)，才是他們的最優(yōu)解，同時(shí)經(jīng)過整點(diǎn)(0,12)也是最優(yōu)解
即應(yīng)隔大房間3間，小房間8間，或者隔大房間0間，小房間12間，所獲利益最大 如果考慮到不同客人的需要，應(yīng)隔大房間3間，小房間8間
小結(jié)：
簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃在實(shí)際生產(chǎn)生活中應(yīng)用非常廣泛，主要解決的問題是：在資源的限制下，如何使用資源來完成最多的生產(chǎn)任務(wù)；或是給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的資源來完成 如常見的任務(wù)安排問題、配料問題、下料問題、布局問題、庫(kù)存問題，通常解法是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，歸結(jié)為線性規(guī)劃，使用圖解法解決
圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí)，根據(jù)約束條件畫出可行域是關(guān)鍵的一步 一般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的非封閉平面區(qū)域 第二是畫好線性目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的平行直線系，特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關(guān)系要判斷準(zhǔn)確 通常最優(yōu)解在可行域的頂點(diǎn)（即邊界線的交點(diǎn)）處取得，但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點(diǎn)坐標(biāo)的近似值 它應(yīng)是目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線平移進(jìn)入可行域最先或最后經(jīng)過的那一整點(diǎn)的坐標(biāo)
學(xué)生練習(xí)
1 下列命題中正確的是
A 點(diǎn)（0，0）在區(qū)域x+y≥0內(nèi) B 點(diǎn)（0，0）在區(qū)域x+y+1<0內(nèi)
C 點(diǎn)（1，0）在區(qū)域y>2x內(nèi) D 點(diǎn)（0，1）在區(qū)域x－y+1>0內(nèi)
解析：將（0，0）代入x+y≥0，成立
答案：A
2 設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）滿足（x－y+1）（x+y－4）≥0，x≥3，則x2+y2的最小值為
A B C D 10
解析：數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)x=3，y=1時(shí)，x2+y2的最小值為10
答案：D
3 不等式組 2x－y+1≥0，x－2y－1≤0， x+y≤1表示的平面區(qū)域?yàn)?br />A 在第一象限內(nèi)的一個(gè)無(wú)界區(qū)域 B 等腰三角形及其內(nèi)部
C 不包含第一象限內(nèi)的點(diǎn)的一個(gè)有界區(qū)域 D 正三角形及其內(nèi)部
答案：B
4 點(diǎn)（－2，t）在直線2x－3y+6=0的上方，則t的取值范圍是______
解析：（－2，t）在2x－3y+6=0的上方，則2×（－2）－3t+6＜0，解得t＞ 答案：t＞
5 不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）共有____________個(gè)
解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3個(gè) 答案：3
6 （x－1）2+（y－1）2=1是｜x－1｜+｜y－1｜≤1的__________條件
A 充分而不必要 B 必要而不充分C 充分且必要 D 既不充分也不必要
答案：B
7（x+2y+1）（x－y+4）≤0表示的平面區(qū)域?yàn)?br />
A B C D
答案：B
8 畫出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）為頂點(diǎn)的△ABC的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域?yàn)榭尚杏虻哪繕?biāo)函數(shù)z=3x－2y的最大值和最小值
分析：本例含三個(gè)問題：①畫指定區(qū)域；②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式??不等式組；③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值
解：如圖，連結(jié)點(diǎn)A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域?yàn)樗蟆鰽BC區(qū)域
直線AB的方程為x+2y－1=0，BC及CA的直線方程分別為x－y+2=0，2x+y－5=0
在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)P（1，1），
分別代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5
得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0
因此所求區(qū)域的不等式組為
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直線3x－2y=0的直線系3x－2y=t（t為參數(shù)），即平移直線y= x，觀察圖形可知：當(dāng)直線y= x－ t過A（3，－1）時(shí)，縱截距－ t最小 此時(shí)t最大，tmax=3×3－2× （－1）=11；
當(dāng)直線y= x－ t經(jīng)過點(diǎn)B（－1，1）時(shí)，縱截距－ t最大，此時(shí)t有最小值為tmin= 3×（－1）－2×1=－5
因此，函數(shù)z=3x－2y在約束條件
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值為11，最小值為－5
9 某�；锸抽L(zhǎng)期以面粉和大米為主食，面食每100 g含蛋白質(zhì)6個(gè)單位，含淀粉4個(gè)單位，售價(jià)0 5元，米食每100 g含蛋白質(zhì)3個(gè)單位，含淀粉7個(gè)單位，售價(jià)0 4元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費(fèi)用最少?
解：設(shè)每盒盒飯需要面食x（百克），米食y（百克），
所需費(fèi)用為S=0 5x+0 4y，且x、y滿足
6x+3y≥8，4x+7y≥10，x≥0，y≥0，
由圖可知，直線y=－ x+ S過A（ ， ）時(shí)，縱截距 S最小，即S最小
故每盒盒飯為面食 百克，米食 百克時(shí)既科學(xué)又費(fèi)用最少
10 配制A、B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料，已知配一劑A種藥需甲料3 mg，乙料5 mg；配一劑B種藥需甲料5 mg，乙料4 mg 今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A、B兩種藥至少各配一劑，問共有多少種配制方法?
解：設(shè)A、B兩種藥分別配x、y劑（x、y∈N），則
x≥1，y≥1，3x+5y≤20，5x+4y≤25
上述不等式組的解集是以直線x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25為邊界所圍成的區(qū)域，這個(gè)區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)為（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1） 所以，在至少各配一劑的情況下，共有8種不同的配制方法．
11 某公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時(shí)出售變頻空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況（如資金、勞動(dòng)力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤(rùn)達(dá)到最大 已知對(duì)這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動(dòng)力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：
資 金單位產(chǎn)品所需資金（百元）月資金供應(yīng)量（百元）
空調(diào)機(jī)洗衣機(jī)
成 本3020300
勞動(dòng)力（工資）510110
單位利潤(rùn)68
試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)是多少?
解：設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是x、y臺(tái)，總利潤(rùn)是P，則P=6x+8y，由題意有
30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均為整數(shù)
由圖知直線y=－ x+ P過M（4，9）時(shí)，縱截距最大 這時(shí)P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96（百元）
故當(dāng)月供應(yīng)量為空調(diào)機(jī)4臺(tái)，洗衣機(jī)9臺(tái)時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)9600元
12 實(shí)系數(shù)方程f（x）=x2+ax+2b=0的一個(gè)根在（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在（1，2）內(nèi)，求：
（1） 的值域；
（2）（a－1）2+（b－2）2的值域；
（3）a+b－3的值域
解：由題意知
f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0 b＞0，a+b+1＜0，a+b+2＞0
如圖所示 A（－3，1）、B（－2，0）、C（－1，0）
又由所要求的量的幾何意義知，值域分別為（1）（ ，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoer/54738.html
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