一、
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋12＋13＋…＋12n－1
A．1＋12<2
B．1＋12＋13＜2
C．1＋12＋13＜3
D．1＋12＋13＋14＜3
[答案] B
[解析] ∵n∈N*，n＞1，∴n取第一個(gè)自然數(shù)為2，左端分母最大的項(xiàng)為122－1＝13，故選B.
2．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(n∈N*，a≠1)，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊所得的項(xiàng)為( )
A．1
B．1＋a＋a2
C．1＋a
D．1＋a＋a2＋a3
[答案] B
[解析] 因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，an＋1＝a2，所以此時(shí)式子左邊＝1＋a＋a2.故應(yīng)選B.
3．設(shè)f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A.12n＋1 B.12n＋2
C.12n＋1＋12n＋2 D.12n＋1－12n＋2
[答案] D
[解析] f(n＋1)－f(n)
＝1(n＋1)＋1＋1(n＋1)＋2＋…＋12n＋12n＋1＋12(n＋1)
－1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＝12n＋1＋12(n＋1)－1n＋1
＝12n＋1－12n＋2.
4．某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N*)時(shí)，該命題成立，那么可推得n＝k＋1時(shí)該命題也成立．現(xiàn)在已知當(dāng)n＝5時(shí)，該命題不成立，那么可推得( )
A．當(dāng)n＝6時(shí)該命題不成立
B．當(dāng)n＝6時(shí)該命題成立
C．當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立
D．當(dāng)n＝4時(shí)該命題成立
[答案] C
[解析] 原命題正確，則逆否命題正確．故應(yīng)選C.
5．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的證明時(shí)，正確的證法是( )
A．假設(shè)n＝k(k∈N*)，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立
B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立
C．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2時(shí)命題也成立
D．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N)，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立
[答案] C
[解析] ∵n為正奇數(shù)，當(dāng)n＝k時(shí)，k下面第一個(gè)正奇數(shù)應(yīng)為k＋2，而非k＋1.故應(yīng)選C.
6．凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n＋1邊形對(duì)角線的條數(shù)f(n＋1)為( )
A．f(n)＋n＋1
B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1
D．f(n)＋n－2
[答案] C
[解析] 增加一個(gè)頂點(diǎn)，就增加n＋1－3條對(duì)角線，另外原來的一邊也變成了對(duì)角線，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故應(yīng)選C.
7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)一切n∈N*，都有2n>n2－2”這一命題，證明過程中應(yīng)驗(yàn)證( )
A．n＝1時(shí)命題成立
B．n＝1，n＝2時(shí)命題成立
C．n＝3時(shí)命題成立
D．n＝1，n＝2，n＝3時(shí)命題成立
[答案] D
[解析] 假設(shè)n＝k時(shí)不等式成立，即2k>k2－2，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)2k＋1＝2?2k>2(k2－2)
由2(k2－2)≥(k－1)2－4?k2－2k－3≥0
?(k＋1)(k－3)≥0?k≥3，因此需要驗(yàn)證n＝1,2,3時(shí)命題成立．故應(yīng)選D.
8．已知f(n)＝(2n＋7)?3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( )
A．30
B．26
C．36
D．6
[答案] C
[解析] 因?yàn)閒(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推測(cè)最大的m值為36.
9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計(jì)算a2、a3、a4，猜想an＝( )
A.2(n＋1)2
B.2n(n＋1)
C.22n－1
D.22n－1
[答案] B
[解析] 由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1
∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝nn＋2an (n≥2)．
當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝a13＝13
a3＝24a2＝16，a4＝35a3＝110.
由a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110
猜想an＝2n(n＋1)，故選B.
10．對(duì)于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某學(xué)生的證明過程如下：
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，12＋1≤1＋1，不等式成立．
(2)假設(shè)n＝k(k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即k2＋k
A．過程全都正確
B．n＝1驗(yàn)證不正確
C．歸納假設(shè)不正確
D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確
[答案] D
[解析] n＝1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確，但從n＝k到n＝k＋1的推理中沒有使用歸納假設(shè)，而通過不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求．故應(yīng)選D.
二、題
11．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為________．
[答案] 當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝4，右邊＝4，左≥右，不等式成立
[解析] 當(dāng)n＝1時(shí)，左≥右，不等式成立，
∵n∈N*，∴第一步的驗(yàn)證為n＝1的情形．
12．已知數(shù)列11×2，12×3，13×4，…，1n(n＋1)，通過計(jì)算得S1＝12，S2＝23，S3＝34，由此可猜測(cè)Sn＝________.
[答案] nn＋1
[解析] 解法1：通過計(jì)算易得答案．
解法2：Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)
＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1
＝1－1n＋1＝nn＋1.
13．對(duì)任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a＝________.
[答案] 5
[解析] 當(dāng)n＝1時(shí)，36＋a3能被14整除的數(shù)為a＝3或5，當(dāng)a＝3時(shí)且n＝3時(shí)，310＋35不能被14整除，故a＝5.
14．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.
(1)當(dāng)n0＝________時(shí)，左邊＝____________，右邊＝______________________；當(dāng)n＝k時(shí)，等式左邊共有________________項(xiàng)，第(k－1)項(xiàng)是__________________．
(2)假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即_____________________________________成立．
(3)當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題的形式是______________________________________；此時(shí)，左邊增加的項(xiàng)為______________________．
[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k；
(k－1)[3(k－1)＋1]
(2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2
(3)1×4＋2×7＋…＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1]
[解析] 由數(shù)學(xué)歸納法的法則易知．
三、解答題
15．求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
[證明]�、賜＝1時(shí)，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立．
②假設(shè)n＝k時(shí)，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1時(shí)，等式也成立．
由①②得，等式對(duì)任何n∈N*都成立．
16．求證：12＋13＋14＋…＋12n－1>n－22(n≥2)．
[證明]�、佼�(dāng)n＝2時(shí)，左＝12>0＝右，
∴不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，不等式成立．
即12＋13＋…＋12k－1>k－22成立．
那么n＝k＋1時(shí)，12＋13＋…＋12k－1
＋12k－1＋1＋…＋12k－1＋2k－1
>k－22＋12k－1＋1＋…＋12k>k－22＋12k＋12k＋…＋12k
＝k－22＋2k－12k＝(k＋1)－22，
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．
據(jù)①②可知，不等式對(duì)一切n∈N*且n≥2時(shí)成立．
17．在平面內(nèi)有n條直線，其中每?jī)蓷l直線相交于一點(diǎn)，并且每三條直線都不相交于同一點(diǎn)．
求證：這n條直線將它們所在的平面分成n2＋n＋22個(gè)區(qū)域．
[證明] (1)n＝2時(shí)，兩條直線相交把平面分成4個(gè)區(qū)域，命題成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)，k條直線將平面分成k2＋k＋22塊不同的區(qū)域，命題成立．
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，設(shè)其中的一條直線為l，其余k條直線將平面分成k2＋k＋22塊區(qū)域，直線l與其余k條直線相交，得到k個(gè)不同的交點(diǎn)，這k個(gè)點(diǎn)將l分成k＋1段，每段都將它所在的區(qū)域分成兩部分，故新增區(qū)域k＋1塊．
從而k＋1條直線將平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝(k＋1)2＋(k＋1)＋22塊區(qū)域．
所以n＝k＋1時(shí)命題也成立．
由(1)(2)可知，原命題成立．
18．(2010?衡水高二檢測(cè))試比較2n＋2與n2的大小(n∈N*)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．
[分析] 由題目可獲取以下主要信息：
①此題選用特殊值來找到2n＋2與n2的大小關(guān)系；
②利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論．
解答本題的關(guān)鍵是先利用特殊值猜想．
[解析] 當(dāng)n＝1時(shí)，21＋2＝4>n2＝1，
當(dāng)n＝2時(shí)，22＋2＝6>n2＝4，
當(dāng)n＝3時(shí)，23＋2＝10>n2＝9，
當(dāng)n＝4時(shí)，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2(n∈N*)成立
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，
左邊＝21＋2＝4，右邊＝1，
所以左邊>右邊，
所以原不等式成立．
當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝22＋2＝6，
右邊＝22＝4，所以左邊>右邊；
當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，
所以左邊>右邊．
(2)假設(shè)n＝k時(shí)(k≥3且k∈N*)時(shí)，不等式成立，
即2k＋2>k2.那么n＝k＋1時(shí)，
2k＋1＋2＝2?2k＋2＝2(2k＋2)－2>2?k2－2.
又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3
＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
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