【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
要求學(xué)生掌握和理解實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律，理解向量共線的條件并會(huì)判斷兩向量共線的條件。
【知識(shí)梳理】
1．實(shí)數(shù)與向量的積：
定義：實(shí)數(shù)λ與向量 的積是一個(gè)向量，記作λ ，并規(guī)定：
1?
2?
3?．運(yùn)算定律：結(jié)合律：
第一分配律：
第二分配律：
2．向量共線定理：
【例題選講】
1．已知向量 、 求作向量-2.5 和2 -3 。
例2．計(jì)算：
（1）3（ - ）-2（ +2 ）
（2）2（2 +6 - ）-3（-3 +4 -2 ）
（3）(m+ n)( + )-(m+ n)( - )
例3．已知向量 =2 -2 ， =-3（ - ），求證： ， 是共線向量。
例4．已知 =4 +2 ， = +2 ，求證：M、P、Q三點(diǎn)共線。
【歸納反思】
1．在代數(shù)里，幾個(gè)相等的實(shí)數(shù)相加，便得到幾倍實(shí)數(shù)的概念，將它推廣到幾個(gè)相等的向量相加，就是正整數(shù)n與向量 的積，關(guān)于數(shù)乘向量的這種運(yùn)算，若將n推廣到實(shí)數(shù) ，就得到實(shí)數(shù) 與向量 的積的概念。
2．?dāng)?shù)乘向量可以像實(shí)數(shù)多項(xiàng)式那樣去運(yùn)算。
3．實(shí)數(shù) 與向量 的積 是向量。
4．向量共線的等價(jià)條件是： （ ）共線 （ ）
【課內(nèi)練習(xí)】
1．已知向量 、 是非零向量，在下列條件中，能使 、 共線的是
（1）2 -3 =4 且 +2 =-3 （2）存在相異實(shí)數(shù) ，使 + =
（3）x +y = （其中實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=0）
（4）已知梯形ABCD中，其中
2．下列命題中，為真命題的是
（1） // 存在唯一的實(shí)數(shù) ，使 =λ ；
（2） // 存在不全為零的實(shí)數(shù) ，使 ；
（3） 與 不共線 若 ，則
（4） 與 不共線 不存在實(shí)數(shù) 使 。
3．如圖， 中， ，則 為
A （2 + ） B （2 + ）
C （2 + ） D （2 + ）
4．如圖，OADB是以向量 ， 為邊的平行四邊形，又BM= BC，CN= CD，試用 表示 。
5．如圖，點(diǎn)E、F分別是四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)，設(shè) ，試用 表示
【鞏固提高】
1．已知點(diǎn)E是正方形ABCD的CD邊的中點(diǎn)，若 ，則 為
A B C D
2．已知 三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，若 則
A 點(diǎn)P在 內(nèi)部 B 點(diǎn)P在 外部
C 點(diǎn)P在AB邊所在直線上 D 點(diǎn)P在AC線段上
3．如圖，點(diǎn)M是 的重心，則 為
A B 4 C 4 D 4
4． ABC中, ，則 為
A （ +2 ） B （2 + ） C （ +3 ） D （ +2 ）
5．已知 = -2 ， =2 + ，其中 與 不共線，則 + 與 =6 -2 的關(guān)系為
6．若M是 的重心，則下列各向量中與 共線的是
A B C D
7．已知向量 不共線，判斷下列向量 是否共線？
（1） ， （2）
8．證明：起點(diǎn)相同的三個(gè)向量 , ,3 -2 的終點(diǎn)在一條直線上（ ）
9．若 ， ， ，且B、C、D三個(gè)點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù) 的值。
10．如圖，在 中， ，AD與BC交于M點(diǎn)，設(shè) ， ，
試用 表示
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