第十章 圓錐曲線
★知識(shí)網(wǎng)絡(luò)★
第1講 橢圓
★知識(shí)梳理★
1. 橢圓定義：
（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 的距離之和為常數(shù) 的動(dòng)點(diǎn) 的軌跡叫橢圓,其中兩個(gè)定點(diǎn) 叫橢圓的焦點(diǎn).
當(dāng) 時(shí), 的軌跡為橢圓 ; ;
當(dāng) 時(shí), 的軌跡不存在;
當(dāng) 時(shí), 的軌跡為 以 為端點(diǎn)的線段
（2）橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點(diǎn) 與定直線 (定點(diǎn) 不在定直線 上)的距離之比是常數(shù) ( )的點(diǎn)的軌跡為橢圓
（利用第二定義,可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化）.
2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):
標(biāo)準(zhǔn)方程
性
質(zhì)參數(shù)關(guān)系
焦點(diǎn)
焦距
范圍
頂點(diǎn)
對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱
離心率
準(zhǔn)線
3.點(diǎn) 與橢圓 的位置關(guān)系:
當(dāng) 時(shí),點(diǎn) 在橢圓外; 當(dāng) 時(shí),點(diǎn) 在橢圓內(nèi); 當(dāng) 時(shí),點(diǎn) 在橢圓上;
4.直線與橢圓的位置關(guān)系
直線與橢圓相交 ;直線與橢圓相切 ;直線與橢圓相離
★重難點(diǎn)突破★
重點(diǎn):掌握橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)用定義和求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能通過方程研究橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用
難點(diǎn):橢圓的幾何元素與參數(shù) 的轉(zhuǎn)換
重難點(diǎn):運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，圍繞“焦點(diǎn)三角形”，用代數(shù)方法研究橢圓的性質(zhì)，把握幾何元素轉(zhuǎn)換成參數(shù) 的關(guān)系
1.要有用定義的意識(shí)
問題1已知 為橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，過 的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)若 ，則 =______________。
[解析] 的周長(zhǎng)為 ， =8
2.求標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點(diǎn)的定位
問題2橢圓 的離心率為 ，則
[解析]當(dāng)焦點(diǎn)在 軸上時(shí)， ；
當(dāng)焦點(diǎn)在 軸上時(shí)， ，
綜上 或3
★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★
考點(diǎn)1 橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
題型1:橢圓定義的運(yùn)用
[例1 ] (湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2009屆高三聯(lián)考)橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是
A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能
[解析]按小球的運(yùn)行路徑分三種情況:
(1) ,此時(shí)小球經(jīng)過的路程為2(a－c);
(2) , 此時(shí)小球經(jīng)過的路程為2(a+c);
(3) 此時(shí)小球經(jīng)過的路程為4a,故選D
【名師指引】考慮小球的運(yùn)行路徑要全面
【新題導(dǎo)練】
1. （2007?佛山南海）短軸長(zhǎng)為 ，離心率 的橢圓兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)為（ ）
A.3 B.6 C.12 D.24
[解析]C. 長(zhǎng)半軸a=3，△ABF2的周長(zhǎng)為4a=12
2. (廣雅中學(xué)2008—2009學(xué)年度上學(xué)期期中考)已知 為橢圓 上的一點(diǎn)， 分別為圓 和圓 上的點(diǎn)，則 的最小值為（ ）
A． 5 B． 7 C ．13 D． 15
[解析]B. 兩圓心C、D恰為橢圓的焦點(diǎn)， ， 的最小值為10-1-2=7
題型2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
[例2 ]設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為 －4，求此橢圓方程.
【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù) 的式子“描述”出來
[解析]設(shè)橢圓的方程為 或 ，
則 ，
解之得： ，b=c＝4.則所求的橢圓的方程為 或 .
【名師指引】準(zhǔn)確把握?qǐng)D形特征，正確轉(zhuǎn)化出參數(shù) 的數(shù)量關(guān)系．
［警示］易漏焦點(diǎn)在y軸上的情況．
【新題導(dǎo)練】
3. 如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________.
[解析](0,1). 橢圓方程化為 + =1. 焦點(diǎn)在y軸上，則 >2，即k<1.
又k>0，∴0
[解析]當(dāng) 時(shí)， ，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
當(dāng) 時(shí)， ，方程表示圓心在原點(diǎn)的圓，
當(dāng) 時(shí)， ，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
5. 橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是 ，求這個(gè)橢圓方程.
[解析] ， ，所求方程為 + =1或 + =1.
考點(diǎn)2 橢圓的幾何性質(zhì)
題型1:求橢圓的離心率（或范圍）
[例3 ] 在 中， ．若以 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn) ，則該橢圓的離心率 ．
【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率
[解析] ，
，
【名師指引】（1）離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也隨之確定
（2）只要列出 的齊次關(guān)系式，就能求出離心率（或范圍）
（3）“焦點(diǎn)三角形”應(yīng)給予足夠關(guān)注
【新題導(dǎo)練】
6. (執(zhí)信中學(xué)2008-2009學(xué)年度第一學(xué)期高三期中考試)如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,那么這個(gè)橢圓的離心率為
. . . .
[解析]選
7. （江蘇鹽城市三星級(jí)高中2009屆第一協(xié)作片聯(lián)考）已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓 的離心率為
[解析]由 ，橢圓 的離心率為
8. (山東濟(jì)寧2007—2008學(xué)年度高三第一階段質(zhì)量檢測(cè))
我國(guó)于07年10月24日成功發(fā)射嫦娥一號(hào)衛(wèi)星，并經(jīng)四次變軌飛向月球。嫦娥一號(hào)繞地球運(yùn)行的軌跡是以地球的地心為焦點(diǎn)的橢圓。若第一次變軌前衛(wèi)星的近地點(diǎn)到地心的距離為m，遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離為n，第二次變軌后兩距離分別為2m、2n（近地點(diǎn)是指衛(wèi)星距離地面最近的點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)是距離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)），則第一次變軌前的橢圓的離心率比第二次變軌后的橢圓的離心率（ ）
A．不變 B. 變小 C. 變大 D.無法確定
[解析] ， ，選A
題型2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍、對(duì)稱性等）
[例4 ] 已知實(shí)數(shù) 滿足 ,求 的最大值與最小值
【解題思路】 把 看作 的函數(shù)
[解析] 由 得 ,
當(dāng) 時(shí), 取得最小值 ,當(dāng) 時(shí), 取得最大值6
【名師指引】注意曲線的范圍，才能在求最值時(shí)不出差錯(cuò)
【新題導(dǎo)練】
9.已知點(diǎn) 是橢圓 （ ， ）上兩點(diǎn),且 ,則 =
[解析] 由 知點(diǎn) 共線,因橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
10.如圖，把橢圓 的長(zhǎng)軸 分成 等份，過每個(gè)分點(diǎn)作 軸的垂線交橢圓的上半部分于 七個(gè)點(diǎn)， 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)
則 ________________
［解析］由橢圓的對(duì)稱性知： ．
考點(diǎn)3 橢圓的最值問題
題型: 動(dòng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)涉及的距離、面積的最值
[例5 ]橢圓 上的點(diǎn)到直線l: 的距離的最小值為___________．
【解題思路】把動(dòng)點(diǎn)到直線的距離表示為某個(gè)變量的函數(shù)
[解析]在橢圓上任取一點(diǎn)P,設(shè)P( ). 那么點(diǎn)P到直線l的距離為：
【名師指引】也可以直接設(shè)點(diǎn) ，用 表示 后，把動(dòng)點(diǎn)到直線的距離表示為 的函數(shù)，關(guān)鍵是要具有“函數(shù)思想”
【新題導(dǎo)練】
11.橢圓 的內(nèi)接矩形的面積的最大值為
[解析]設(shè)內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為 ，
矩形的面積
12. 是橢圓 上一點(diǎn)， 、 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求 的最大值與最小值
[解析]
當(dāng) 時(shí)， 取得最大值 ，
當(dāng) 時(shí)， 取得最小值
13. （2007?惠州）已知點(diǎn) 是橢圓 上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又 、 ，
是原點(diǎn)，則四邊形 的面積的最大值是_________．
[解析] 設(shè) ，則
考點(diǎn)4 橢圓的綜合應(yīng)用
題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問題
[例6 ] 已知橢圓 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) ,一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為 ,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線 與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且 ．
（1）求橢圓方程；
（2）求m的取值范圍．
【解題思路】通過 ，溝通A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再利用判別式和根與系數(shù)關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于m的不等式
[解析]（1）由題意可知橢圓 為焦點(diǎn)在 軸上的橢圓，可設(shè)
由條件知 且 ，又有 ，解得
故橢圓 的離心率為 ，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）
y＝kx＋m2x2＋y2＝1 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝－2kmk2＋2， x1x2＝m2－1k2＋2
∵AP＝3PB ∴－x1＝3x2 ∴x1＋x2＝－2x2x1x2＝－3x22
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0
m2＝14時(shí)，上式不成立；m2≠14時(shí)，k2＝2－2m24m2－1，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝2－2m24m2－1>0，∴－1
即所求m的取值范圍為（－1，－12）∪（12，1）
【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問題是高考熱點(diǎn)之一，應(yīng)充分重視向量的功能
【新題導(dǎo)練】
14. (2007?廣州四校聯(lián)考)設(shè)過點(diǎn) 的直線分別與 軸的正半軸和 軸的正半軸交于 、 兩點(diǎn)，點(diǎn) 與點(diǎn) 關(guān)于 軸對(duì)稱， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 ，且 ，則 點(diǎn)的軌跡方程是 （ ）
A. B.
C. D.
[解析] ，選A.
15. 如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC= 。一曲線E過點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持PA+PB的值不變，直線l經(jīng)過A與曲線E交于M、N兩點(diǎn)。
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，若∠MBN為鈍角，求k的取值范圍。
解：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A（－1，0），B（1，0）
由題設(shè)可得
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 ，
則
∴曲線E方程為
（2）直線MN的方程為
由
∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根
∵∠MBN是鈍角
即
解得：
又M、B、N三點(diǎn)不共線
綜上所述，k的取值范圍是
★～～搶分頻道★
基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練
1. 如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn),直線 與BF交于D,且 ,則橢圓的離心率為( )
A B C D
[解析] B .
2. （廣東省四校聯(lián)合體2007-2008學(xué)年度聯(lián)合考試）設(shè)F1、F2為橢圓 +y2=1的兩焦點(diǎn)，P在橢圓上，當(dāng)△F1PF2面積為1時(shí)， 的值為
A、0 B、1 C、2 D、3
[解析] A . ， P的縱坐標(biāo)為 ，從而P的坐標(biāo)為 ， 0，
3. (廣東廣雅中學(xué)2008—2009學(xué)年度上學(xué)期期中考)橢圓 的一條弦被 平分,那么這條弦所在的直線方程是
A． B． C． D．
[解析] D. , ,兩式相減得： ， ，
4.在 中， ， ．若以 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn) ，則該橢圓的離心率 ．
[解析]
5. 已知 為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),若 , 則此橢圓的離心率為 _________.
[解析] [三角形三邊的比是 ]
6. (2008江蘇)在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓 1( 0)的焦距為2，以O(shè)為圓心， 為半徑的圓，過點(diǎn) 作圓的兩切線互相垂直，則離心率 = ．
[解析]
綜合提高訓(xùn)練
7、已知橢圓 與過點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)的直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率 ．求橢圓方程
[解析]直線l的方程為：
由已知 �、�
由 得：
∴ ，即 �、�
由①②得：
故橢圓E方程為
8. (廣東省汕頭市金山中學(xué)2008－2009學(xué)年高三第一次月考)
已知A、B分別是橢圓 的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P ）在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于△ABC，求 的值。
[解析]（1）∵點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn)
∴ 是△ 的中位線
又 ∴
∴
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1
（2）∵點(diǎn)C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)
∴AC＋BC＝2a＝ ，AB＝2c＝2
在△ABC中，由正弦定理，
∴ ＝
9. (海珠區(qū)2009屆高三綜合測(cè)試二)已知長(zhǎng)方形ABCD, AB=2 ,BC=1.以AB的中點(diǎn) 為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系 .
(Ⅰ)求以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P(0,2)的直線 交(Ⅰ)中橢圓于M,N兩點(diǎn),是否存在直線 ,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)?若存在,求出直線 的方程;若不存在,說明理由.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoer/56049.html
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