學(xué)案4 用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布
【課標(biāo)導(dǎo)航】
（1） 通過(guò)實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用．
（2）在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖．
（3）通過(guò)實(shí)例體會(huì)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布，準(zhǔn)確地做出總體估計(jì)．
重點(diǎn)：會(huì)列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖．
難點(diǎn)：能通過(guò)樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布．
【知識(shí)導(dǎo)引】
在ＮＢＡ的2011賽季中，甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的原始記錄如下?
甲運(yùn)動(dòng)員得分?12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
乙運(yùn)動(dòng)員得分?8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33
請(qǐng)問(wèn)從上面的數(shù)據(jù)中你能否看出甲，乙兩名運(yùn)動(dòng)員哪一位發(fā)揮比較穩(wěn)定？
如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出正確的判斷呢？
【自學(xué)導(dǎo)撥】
1．頻率分布表
當(dāng)總體很大或不便獲得時(shí)，可以用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布，我們把反映 的表格稱為頻率分布表．
2．繪制頻率分布直方圖的一般步驟為：
（1）計(jì)算 ，即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；
（2）決定 ；
○1組距與組數(shù)的確定沒(méi)有確切的標(biāo)準(zhǔn)，將數(shù)據(jù)分組時(shí)組數(shù)應(yīng)力求合適，以使數(shù)據(jù)的發(fā)布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來(lái)．
○2組數(shù)與樣本容量有關(guān)，一般樣本容量越大，分的組數(shù)也越多，當(dāng)樣本容量為100時(shí)，常分8~12組．
○3組距的選擇．組距= ，組距的選擇力求取整，如果極差不利于分組（不能被組數(shù)整除）可適當(dāng)增大極差，如在左右兩端各增加適當(dāng)?shù)姆秶ūM量使兩端增加的量相同）．
（3）決定 ；
（4）列 ；一般為四列：分組、個(gè)數(shù)累計(jì)、頻數(shù)、頻率最后一行是合計(jì)，其中頻數(shù)合計(jì)應(yīng)是 ，頻率合計(jì)是
（5）繪制頻率分布直方圖．為將頻率分布直方圖中的結(jié)果直觀形象的表示出來(lái)，畫圖時(shí)，應(yīng)以橫軸表示分組，縱軸表示 ，其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的長(zhǎng)方形的面積，即每個(gè) ，且各小長(zhǎng)方形的面積的總和等于 ．．
3．頻率分布折線圖
連接頻率分布直方圖中 的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．
4．總體密度曲線
隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)也在增加，組距減小，相應(yīng)的 圖會(huì)越來(lái)越接近于一條 ，統(tǒng)計(jì)中稱之為總體密度曲線，它反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比．
5．莖葉圖
當(dāng)樣本數(shù)據(jù) 時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)效果較好，它不但可以便于記錄，而且統(tǒng)計(jì)圖上沒(méi)有原始數(shù)據(jù)的損失，所有的數(shù)據(jù)都可以從莖葉圖中得到．
畫莖葉圖的步驟：（1）將數(shù)據(jù)分為“莖”（高位）和 “葉”（低位）兩部分．
（2）將最小莖和最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列．
（3）將數(shù)據(jù)的“葉”按大小次序?qū)懺谄淝o右（左）側(cè)．
6．幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)點(diǎn)與不足：
(1)頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢(shì)不太方便．
(2)頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到在分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式．但從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說(shuō)，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．
(3)頻率分布折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線．
(4)用莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是原有信息不會(huì)被抹掉，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便了．
【教材導(dǎo)學(xué)】
【例1】：從某校高一年級(jí)的1002名新生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為100的身高的樣本，數(shù)據(jù)如下（單位：cm）．試作出該樣本的頻率分布表．
168165171167170165 170 152 175 174
165 170168 169 171 166 164 155 164 158
170 155 166 158 155 160 160 164 156 162
160 170 168 164 174 171 165 179 163 172
180 174 173 159 163 172 167 160 164 169
151 168 158 168 176 155 165 165 169 162
177158 175 165 169 151 163 166 163 167
178 165 158 170 169 159 155 163 153 155
167 163 164 158 168 167 161 162 167 168
161 165 174 156 167 166 162 161 164 166
【點(diǎn)撥】：確定組距與組數(shù)是解決“樣本中的個(gè)體取不同值較多”這類問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)．本題需根據(jù)繪制頻率分布直方圖的步驟完成．
【解析】：最大值=180，最小值=151，
極差=29，決定分為10組；
則需將全距調(diào)整為30，組距為3，既每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為3，組距=全距/組數(shù)．
可取區(qū)間[150．5， 180．5]
分組 頻數(shù) 頻率
[150．5，153．5） 4 0．04
[153．5，156．5） 8 0．08
[156．5，159．5） 8 0．08
[159．5，162．5） 11 0．11
[162．5，165．5） 22 0．22
[165．5，168．5） 19 0．19
[168．5，171．5） 14 0．14
[171．5，174．5） 7 0．07
[174．5，177．5） 4 0．04
[177．5，180．5） 3 0．03
合計(jì) 100 1
頻率分布直方圖為：
【反思】：在列頻率分布表時(shí)，先求極差再分組，注意分組不能太多也不能太少，往往把第1小組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn)，同時(shí)要牢固掌握列頻率分布表及繪制頻率分布直方圖是步驟與方法．
【變式練習(xí)一】：下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機(jī)抽樣得出的120人的身高
(單位ｃｍ)
(1)列出樣本頻率分布表?
(2)一畫出頻率分布直方圖;
(3)估計(jì)身高小于134ｃｍ的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比．．
【例2】：從全校參加科技知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生試卷中，抽取一個(gè)樣本，考察競(jìng)賽的成績(jī)分布．將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小組的小長(zhǎng)方形的高的比是1∶3∶6∶4∶2，最后邊一組的頻數(shù)是6．請(qǐng)結(jié)合頻率分布直方圖提供的信息，解答下列問(wèn)題：
(1)樣本的容量是多少？
(2)列出頻率分布表；
(3)成績(jī)落在哪個(gè)范圍內(nèi)的人數(shù)最多?并求該小組的頻數(shù)、頻率；
(4)估計(jì)這次競(jìng)賽中，成績(jī)不低于60分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的百分比．
【點(diǎn)撥】：本題主要考察頻率分布直方圖的應(yīng)用，考察識(shí)圖、用圖的能力，運(yùn)用頻率分布直方圖的知識(shí)解答．
【解析】：(1)由于各組的組距相等，所以各組的頻率與各小長(zhǎng)方形的高成正比且各組頻率的和等于1，那么各組的頻率分別為116，316，616，416，216．設(shè)該樣本容量為n，則6n＝216，所以樣本容量為n＝48．
(2)由以上得頻率分布表如下：
成績(jī)頻數(shù)頻率
[50．5，60．5)3116
[60．5，70．5)9316
[70．5，80．5)18616
[80．5，90．5)12416
[90．5，100．5)6216
合計(jì)481
(3)成績(jī)落在[70．5，80．5)之間的人數(shù)最多，該組的頻數(shù)和頻率分別是18和38．
(4)不低于60分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的百分比約為
1－116×100%≈94%．
【反思】：（1）頻率分布直方圖中， ，所以各小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，各小長(zhǎng)方形的面積的總和等于 ．
（2）樣本容量= ．
【變式練習(xí)二】： 某校為了了解高一年級(jí)學(xué)生的體能情況，抽調(diào)了一部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩測(cè)試，將測(cè)試成績(jī)整理后作出如下統(tǒng)計(jì)圖，甲同學(xué)計(jì)算出前兩組的頻率和是0．12，乙同學(xué)計(jì)算出跳繩次數(shù)不少于100次的同學(xué)占96%，丙同學(xué)計(jì)算出從左至右第二、三、四組的頻數(shù)比為4：17：15，結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖回答下列問(wèn)題：
（1）這次共抽調(diào)了多少人？
（2）若跳繩次數(shù)不少于130次為優(yōu)秀，則這次測(cè)試成績(jī)的優(yōu)秀率是多少？
【例3】：某中學(xué)高一（1）班甲、乙兩名同學(xué)自高中以來(lái)每場(chǎng)數(shù)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦拢?br /> 甲的得分：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107；
乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101．
畫出兩人數(shù)學(xué)成績(jī)莖葉圖，請(qǐng)根據(jù)莖葉圖對(duì)兩人的成績(jī)進(jìn)行比較．
【點(diǎn)撥】：用中間的數(shù)字表示兩位同學(xué)得分的十位數(shù)和百位數(shù)，兩邊的數(shù)字分別表示兩人每場(chǎng)數(shù)學(xué)考試成績(jī)的個(gè)位數(shù)．
【解析】：甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖所示：
甲 乙
從這個(gè)莖葉圖可以看出，乙同學(xué)的得分情況是大致對(duì)稱的，中位數(shù)是99；甲同學(xué)的得分情況除一個(gè)特殊得分外，也大致對(duì)稱，中位數(shù)是89．因此乙同學(xué)發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比甲同學(xué)好．
【反思】：莖葉圖由“莖”和“葉”兩部分構(gòu)成，繪制莖葉圖的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)好樹(shù)莖，通常是以該組數(shù)據(jù)的高位數(shù)值作為樹(shù)莖，樹(shù)莖一經(jīng)確定，樹(shù)葉就自然地長(zhǎng)在相應(yīng)的樹(shù)莖上了．
【變式練習(xí)三】：
在某電腦雜志的一篇文章中，每個(gè)句子的字?jǐn)?shù)如下：
10，28，31，17，23，27，18，15，26，24，20，19，36，27，14，25，15，22，11，24，27，17．
在某報(bào)紙的一篇文章中，每個(gè)句子的字?jǐn)?shù)如下：
27，39，33，24，28，19，32，41，33，27，36，23，36，41，27，13，22，23，18，46，32，22．
(1)將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示．
(2)將這兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，得到什么結(jié)論？
【思悟小結(jié)】
（由學(xué)生完成）
【基礎(chǔ)導(dǎo)測(cè)】
1．將一個(gè)容量為n的樣本分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別為40和0．125，則n的值為
（A）640（B）320（C）240（D）160
2．下面給出4個(gè)莖葉圖
則數(shù)據(jù)6，23，12，13，27，35，37，38，51可以由圖 ______表示
3．一個(gè)容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0．0625，則該組樣本的頻數(shù)為
A 2 B．4 C．6 D．8
4．為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17．5歲~18歲的男生體重(kg)，得到頻率分布直方圖，如圖，據(jù)圖可得這100名學(xué)生中體重在［56．5，64．5) kg的學(xué)生人數(shù)是( )
(A)20(B)30(C)40(D)50
5．（2010福建文） 將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖．若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2：3：4：6：4：1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n等于 ．
6．（2010江蘇卷）某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖維的長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5，40]中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有____根在棉花纖維的長(zhǎng)度小于20mm．
7．（2010?福州高一檢測(cè)）甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?br />甲組：76 90 84 86 81 87 86 82 85 83
乙組：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74
用莖葉圖表示兩個(gè)小組的成績(jī)，并判斷哪個(gè)小組的成績(jī)更整齊一些．
8． 觀察下面表格：
（1）完成表中的頻率分布表；
（2）根據(jù)表格，畫出頻率分布直方圖；
（3）估計(jì)數(shù)據(jù)落在［10．95，11．35）范圍內(nèi)的概率約為多少？
分組頻數(shù)頻率
［10．75，10．85）3
［10．85，10．95）9
［10．95，11．05）13
［11．05，11．15）16
［11．15，11．25）26
［11．25，11．35）20
［11．35，11．45）7
［11．45，11．55）4
［11．55，11．65）2
合計(jì)100
【知能提升】
1． 對(duì)于樣本頻率分布折線圖與總體密度曲線的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．頻率分布折線圖與總體密度曲線無(wú)關(guān)
B． 頻率分布折線圖就是總體密度曲線
C．樣本容量很大的頻率分布折線圖就是總體密度曲線
D如果樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限減小，那么頻率分布折線圖就會(huì)無(wú)限接近于總體密度曲線
2．為了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)測(cè)量了其中100
株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)（單位：cm）．根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫
出樣本的頻率分布直方圖（如右圖），那么在這100
株樹(shù)木中，底部周長(zhǎng)小于110cm的株數(shù)是（ ）
A．30 B．60 C．70 D．80
3．某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成六組:第一組，成績(jī)大于等于13秒且小于14秒;第二組，成績(jī)大于等于14秒且小于15秒;……；第六組，成績(jī)大于等于18秒且小于等于19秒．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．設(shè)成績(jī)小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x，成績(jī)大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為y，則從頻率分布直方圖中可分析出x和y分別為( )
(A)0．9，35(B)0．9，45
(C)0．1，35(D)0．1，45
4．某商場(chǎng)在國(guó)慶黃金周的促銷活動(dòng)中，對(duì)10月2日9時(shí)至14時(shí)的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖1所示，已知9時(shí)至10時(shí)的銷售額為2．5萬(wàn)元 ，則11時(shí)至12時(shí)的銷售額為
A． 6萬(wàn)元 B． 8萬(wàn)元
C． 10萬(wàn)元 D． 12萬(wàn)元
5．甲、乙兩個(gè)班級(jí)各隨機(jī)選出15名同學(xué)進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，成績(jī)的
莖葉圖如圖所示．則甲、乙兩班的最高成績(jī)分別是 ______，
______．從圖中看 ______班的平均成績(jī)較高．
6． （2010北京理）從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）．由圖中數(shù)據(jù)可知a＝ ．若要從身高在[ 120 ， 130），[130 ，140) ， [140 ， 150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在[140 ，150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為 ．
7．從高一學(xué)生中抽取50名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)的分組及各組的頻數(shù)如下(單位：分)：
[40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8．
(1)列出樣本的頻率分布表；
(2)畫出頻率分布直方圖；
(3)估計(jì)成績(jī)?cè)赱60，90)分的學(xué)生比例；
(4)估計(jì)成績(jī)?cè)?5分以下的學(xué)生比例．
8．50輛汽車經(jīng)過(guò)某一段公路的時(shí)速記錄如圖所示：
將其分成7組．
（1）列出樣本的頻率分布表；
（2）畫出頻率分布直方圖以及頻率分布折線圖；
（3）根據(jù)上述結(jié)果，估計(jì)汽車時(shí)速在哪組的幾率最大？
9． 在育民中學(xué)舉行的電腦知識(shí)競(jìng)賽中，將高一兩個(gè)班參賽的學(xué)生成績(jī)（得分均為整數(shù)）進(jìn)行整理后分成五組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0．30，0．15，0．10，0．05，第二小組的頻數(shù)是40．
（1）求第二小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
（2）求這兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)是多少？
（3）這兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)應(yīng)落在第幾小組內(nèi)？（不必說(shuō)明理由）
【數(shù)學(xué)探究】
（2010湖北文）為了了解一個(gè)小水庫(kù)中養(yǎng)殖的魚(yú)有關(guān)情況，從這個(gè)水庫(kù)中多個(gè)不同位置捕撈出100條魚(yú)，稱得每條魚(yú)的質(zhì)量（單位：千克），并將所得數(shù)據(jù)分組，畫出頻率分布直方圖（如圖所示）
（Ⅰ）求出各組相應(yīng)的頻率；
（Ⅱ）估計(jì)數(shù)據(jù)落在[1．15，1．30）中的百分比為多少；
（Ⅲ）將上面捕撈的100條魚(yú)分別作一記號(hào)后再放回水庫(kù)，幾天后再?gòu)乃畮?kù)的多處不同位置捕撈出120條魚(yú)，其中帶有記號(hào)的魚(yú)有6條，請(qǐng)根據(jù)這一情況來(lái)估計(jì)該水庫(kù)中魚(yú)的總條數(shù)．
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