福建師大附中2015—2015學年度上學期期末考試高二數學文試題（滿分：150分，時間：120分鐘）說明：試卷分第I卷和第II卷兩部分，請將答案填寫在答卷上，考試結束后只交答案卷.第I卷 共60分一、選擇題：（每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求）1．拋物線的準線方程是（ *** ） A．B．C． D．2.已知，動點滿足：，則動點的軌跡為（ *** ）A.橢圓 B. 線段 C.兩條射線 D. 雙曲線3. 下列有關命題的說法正確的是（ *** ） A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”．B．“”是“”的必要不充分條件．C．命題“使得”的否定是：“ 均有”．D．命題“若，則”的逆否命題為真命題4. 設P是雙曲線上一點，該雙曲線的一條漸近線方程是， 分別是雙曲線的左、右焦點，若，則等于（ *** ）A．2 B．18 C．2或18 D．165．若方程表示雙曲線，則實數的取值范圍是（ *** ）A.-2-1 C. -16. 設為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上且，則的面積是（ *** ）A.1 B. C.2 D. 7.已知點是橢圓上一點，為橢圓的一個焦點，且 軸，焦距，則橢圓的離心率是（ *** ）A. B.－1 C.－1 D.－8.的（ *** ）A B．必要不充分條件 C．充要條件 D．都不對9. 已知拋物線與直線相交于A、B兩點，其中A點的坐標 是(1，2)。如果拋物線的焦點為F，那么等于（ *** ）A． 5 B．6 C． D．710. 已知橢圓，分別是橢圓的左、右焦點，橢圓上總存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ *** ）A. B. C. D. 11. 已知函數的圖象是下列四個圖象之一,且其導函數 的圖象如右圖所示,則該函數的圖象是（ *** ）12．已知動點在橢圓上,若點坐標為,,且則的最小值是（ *** ） A． B． C． D．第Ⅱ卷共90分二、填空題：（每小題4分，共16分）13． *** ； *** 14. 點是拋物線上一動點，則點到點的距離與到直線的距離和的最小值是 *** .15. 已知則的最小值是 *** .16.若拋物線的焦點是,準線是,則經過點、（4，4）且與相切的圓共有 *** 個.三、解答題：（本大題共6小題，共74分）17．（本題滿分12分）已知等差數列滿足。（1）求通項；（2）設是首項為1，公比為3的等比數列，求數列的通項公式及其前項和.18. （本小題滿分12分）設的內角所對邊分別是，已知,(1)若，求;(2)若成等比數列，請判斷的形狀.19.（本小題滿分12分）已知函數。 （1）求曲線在點處的切線方程； （2）直線為曲線的切線，且經過原點，求直線的方程及切點坐標. 20. （本題滿分12分）已知分別為橢圓的左、右兩個焦點，一條直線經過點與橢圓交于兩點, 且的周長為8。⑴求實數的值； ⑵若的傾斜角為，求的值。21. （本小題共12分）一個截面為拋物線形的舊河道(如圖1)，河口寬AB＝4米，河深2米，現(xiàn)要將其截面改造為等腰梯形(如圖2)，要求河道深度不變，而且施工時只能挖土，不準向河道填土．（1）建立恰當的直角坐標系并求出拋物線弧AB的標準方程；（2）試求當截面梯形的下底（較長的底邊）長為多少米時，才能使挖出的土最少？???????22. （本題滿分14分） 如圖，橢圓的頂點為焦點為 S□ = 2S□.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線過(1,1),且與橢圓相交于兩點，當是的中點時，求直線的方程． (Ⅲ)設為過原點的直線，是與n垂直相交于P點且與橢圓相交于兩點的直線，,是否存在上述直線使以為直徑的圓過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.參考答案一、選擇題：1－12：BBDCD ACADA BB 二、填空題： 13、, 14、 15、3 16、2三、解答題： 20. 解：由橢圓的定義，得，， ………2分又，所以的周長． ……………4分又因為的周長為8，所以， 則． ……………5分⑵ 由⑴得，橢圓， ， ………………………7分因為直線的傾斜角為，所以直線斜率為，故直線的方程為． ……………………8分由消去，得， ……………9分（法一：）法二：設，解得，，……10分所以則 …………12分21. 【解析】（Ⅰ）如圖：以拋物線的頂點為原點，中垂線為軸建立直角坐標系……1分則 ……2分設拋物線的方程為將點代入得 ……3分所以拋物線弧AB方程為（） ……4分（Ⅱ）解法一：設等腰梯形的腰與拋物線相切于 則過的切線的斜率為 ，所以切線的方程為：，即，令，得，令，得， 所以梯形面積 ……10分當僅當，即時，成立此時下底邊長為 答：當梯形的下底邊長等于米時，挖出的土最少． ……12分?解法二：設等腰梯形上底（較短的邊）長為米，則一腰過點，可設此腰所在直線方程為， 聯(lián)立，得， 令，得，或（舍）， 故此腰所在直線方程為， 令，得， 故等腰梯形的面積： ……10分當且僅當，即時，有 此時，下底邊長 答：當梯形的下底邊長等于米時，挖出的土最少． ……12分22、解：（Ⅰ）依題意有…………1分又由S□ = 2S□.有，…………2分解得，…… 3分，故橢圓C的方程為.………4分（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，， 則，，兩式相減得：． ∵是的中點，∴ 可得直線的斜率為，7分 當直線的斜率不存在時，將x=1代入橢圓方程并解得，，這時的中點為，∴x=1不符合題設要求．…………8分 綜上，直線的方程為 …………9分 （Ⅲ）設兩點的坐標分別為，假設滿足題設的直線存在，（i）當不垂直于軸時，設的方程為，由與垂直相交于點且得，即，…………10分 又∵以AB為直徑的圓過原點，∴OA⊥OB, ∴.將代入橢圓方程，得，由求根公式可得， ④. ⑤，將④，⑤代入上式并化簡得，⑥將代入⑥并化簡得，矛盾.即此時直線不存在. …………12分（ii）當垂直于軸時，滿足的直線的方程為或， 每天發(fā)布最有價值的高考資源 每天發(fā)布最有價值的高考資源 1 1 每天發(fā)布最有價值的DCBAAB（圖1）AB（圖2）AB（1）福建省師大附中2015-2016學年高二上學期期末考試數學文試題
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