選修2-2 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)
一、
1．設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，則f(x)為R上增函數(shù)的充要條件是(　　)
A．b2－4ac>0　　　　　　B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0
[答案]　D
[解析]　∵a>0，f(x)為增函數(shù)，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，
∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.
2．(2009?廣東文，8)函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
[答案]　D
[解析]　考查導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，故選D.
3．已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)上任一點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，則該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)
[答案]　B
[解析]　令k≤0得x0≤2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，2]．
4．已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖(1)所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個(gè)圖象中，y＝f(x)的圖象大致是(　　)
[答案]　C
[解析]　當(dāng)0∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上為減函數(shù)
當(dāng)x>1時(shí)xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，因此否定A、B、D故選C.
5．函數(shù)y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的單調(diào)增區(qū)間是(　　)
A.－π，－π2和0，π2
B.－π2，0和0，π2
C.－π，－π2和π2，π
D.－π2，0和π2，π
[答案]　A
[解析]　y′＝xcosx，當(dāng)－πcosx<0，∴y′＝xcosx>0，
當(dāng)00，∴y′＝xcosx>0.
6．下列命題成立的是(　　)
A．若f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)，則對(duì)任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0
B．若在(a，b)內(nèi)對(duì)任何x都有f′(x)>0，則f(x)在(a，b)上是增函數(shù)
C．若f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則f′(x)必存在
D．若f′(x)在(a，b)上都存在，則f(x)必為單調(diào)函數(shù)
[答案]　B
[解析]　若f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)，則f′(x)≥0，故A錯(cuò)；f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)與f′(x)是否存在無(wú)必然聯(lián)系，故C錯(cuò)；f(x)＝2在(a，b)上的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝0存在，但f(x)無(wú)單調(diào)性，故D錯(cuò)．
7．(2007?福建理，11)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0時(shí)，f′(x)>0，g′(x)>0，則x<0時(shí)(　　)
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
[答案]　B
[解析]　f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，奇(偶)函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同(反)，∴x<0時(shí)，f′(x)>0，g′(x)<0.
8．f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′(x)＋f(x)≤0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若aA．a(chǎn)f(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a)
C．a(chǎn)f(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b)
[答案]　C
[解析]　∵xf′(x)＋f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0，
∴f′(x)≤－f(x)x，即f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，
又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)．
9．對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有(　　)
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
[答案]　C
[解析]　由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，1]上單調(diào)遞減或f(x)恒為常數(shù)，
故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故應(yīng)選C.
10．(2010?江西理，12)如圖，一個(gè)正五角星薄片(其對(duì)稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)＝0)，則導(dǎo)函數(shù)y＝S′(t)的圖像大致為
(　　)
[答案]　A
[解析]　由圖象知，五角星露出水面的面積的變化率是增→減→增→減，其中恰露出一個(gè)角時(shí)變化不連續(xù)，故選A.
二、題
11．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是單調(diào)增函數(shù)，則b的范圍為_(kāi)_______．
[答案]　b<－1或b>2
[解析]　若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，則Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，
由題意b＜－1或b＞2.
12．已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．
[答案]　a≥1
[解析]　由已知a＞1＋lnxx在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立．
設(shè)g(x)＝1＋lnxx，則g′(x)＝－lnxx2＜0　(x＞1)，
∴g(x)＝1＋lnxx在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，
∴g(x)＜g(1)，
∵g(1)＝1，
∴1＋lnxx＜1在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立，
∴a≥1.
13．函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_________．
[答案]　(－∞，－1)
[解析]　函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的定義域?yàn)?2，＋∞)∪(－∞，－1)，
令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<12，
∴函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1)．
14．若函數(shù)y＝x3－ax2＋4在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
[答案]　[3，＋∞)
[解析]　y′＝3x2－2ax，由題意知3x2－2ax<0在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立，
即a>32x在區(qū)間(0,2)上恒成立，∴a≥3.
三、解答題
15．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋3bx的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點(diǎn)(1，－11)．
(1)求a、b的值；
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．
[解析]　(1)求導(dǎo)得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點(diǎn)(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，
解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得
f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1所以當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f(x)是增函數(shù)；
當(dāng)x∈(3，＋∞)時(shí)，f(x)也是增函數(shù)；
當(dāng)x∈(－1,3)時(shí)，f(x)是減函數(shù)．
16．求證：方程x－12sinx＝0只有一個(gè)根x＝0.
[證明]　設(shè)f(x)＝x－12sinx，x∈(－∞，＋∞)，
則f′(x)＝1－12cosx＞0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．
而當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0，
∴方程x－12sinx＝0有唯一的根x＝0.
17．已知函數(shù)y＝ax與y＝－bx在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，試確定函數(shù)y＝ax3＋bx2＋5的單調(diào)區(qū)間．
[分析]　可先由函數(shù)y＝ax與y＝－bx的單調(diào)性確定a、b的取值范圍，再根據(jù)a、b的取值范圍去確定y＝ax3＋bx2＋5的單調(diào)區(qū)間．
[解析]　∵函數(shù)y＝ax與y＝－bx在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，∴a＜0，b＜0.
由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.
令y′＞0，得3ax2＋2bx＞0，∴－2b3a＜x＜0.
∴當(dāng)x∈－2b3a，0時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)．
令y′＜0，即3ax2＋2bx＜0，
∴x＜－2b3a，或x＞0.
∴在－∞，－2b3a，(0，＋∞)上時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)．
18．(2010?新課標(biāo)全國(guó)文，21)設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝12，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍．
[解析]　(1)a＝12時(shí)，f(x)＝x(ex－1)－12x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上單調(diào)遞增，在[－1,0]上單調(diào)遞減．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，則g′(x)＝ex－a.
若a≤1，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)＝0，從而當(dāng)x≥0時(shí)g(x)≥0，即f(x)≥0.
當(dāng)a>1，則當(dāng)x∈(0，lna)時(shí)，g′(x)<0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)＝0，從而當(dāng)x∈(0，lna)時(shí)g(x)<0，即f(x)<0.
綜合得a的取值范圍為(－∞，1]．


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