選修2-2 1.3.3 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)
一、
1．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，則f′(x)(　　)
A．等于0　　　　　　　B．大于0
C．小于0 D．以上都有可能
[答案]　A
[解析]　∵M＝m，∴y＝f(x)是常數(shù)函數(shù)
∴f′(x)＝0，故應(yīng)選A.
2．設(shè)f(x)＝14x4＋13x3＋12x2在[－1,1]上的最小值為(　　)
A．0　　　　B．－2　 　　
C．－1　 　　D.1312
[答案]　A
[解析]　y′＝x3＋x2＋x＝x(x2＋x＋1)
令y′＝0，解得x＝0.
∴f(－1)＝512，f(0)＝0，f(1)＝1312
∴f(x)在[－1,1]上最小值為0.故應(yīng)選A.
3．函數(shù)y＝x3＋x2－x＋1在區(qū)間[－2,1]上的最小值為(　　)
A.2227 B．2
C．－1 D．－4
[答案]　C
[解析]　y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)
令y′＝0解得x＝13或x＝－1
當x＝－2時，y＝－1；當x＝－1時，y＝2；
當x＝13時，y＝2227；當x＝1時，y＝2.
所以函數(shù)的最小值為－1，故應(yīng)選C.
4．函數(shù)f(x)＝x2－x＋1在區(qū)間[－3,0]上的最值為(　　)
A．最大值為13，最小值為34
B．最大值為1，最小值為4
C．最大值為13，最小值為1
D．最大值為－1，最小值為－7
[答案]　A
[解析]　∵y＝x2－x＋1，∴y′＝2x－1，
令y′＝0，∴x＝12，f(－3)＝13，f12＝34，f(0)＝1.
5．函數(shù)y＝x＋1－x在(0,1)上的最大值為(　　)
A.2 B．1
C．0 D．不存在
[答案]　A
[解析]　y′＝12x－121－x＝12?1－x－xx?1－x
由y′＝0得x＝12，在0，12上y′>0，在12，1上
y′<0.∴x＝12時y極大＝2，
又x∈(0,1)，∴ymax＝2.
6．函數(shù)f(x)＝x4－4x (x<1)(　　)
A．有最大值，無最小值
B．有最大值，也有最小值
C．無最大值，有最小值
D．既無最大值，也無最小值
[答案]　D
[解析]　f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)
∴該方程無解，
故函數(shù)f(x)在(－1,1)上既無極值也無最值．故選D.
7．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分別是(　　)
A．5，－15 B．5,4
C．－4，－15 D．5，－16
[答案]　A
[解析]　y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，
令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．
∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，
∴ymax＝5，ymin＝－15，故選A.
8．已知函數(shù)y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值為154，則a等于(　　)
A．－32 B.12
C．－12 D.12或－32
[答案]　C
[解析]　y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1.
當a≤－1時，最大值為f(－1)＝4，不合題意．
當－1最大值為f(a)＝－a2－2a＋3＝154，
解得a＝－12或a＝－32(舍去)．
9．若函數(shù)f(x)＝x3－12x在區(qū)間(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是
(　　)
A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3
B．－3C．－2D．不存在這樣的實數(shù)
[答案]　B
[解析]　因為y′＝3x2－12，由y′>0得函數(shù)的增區(qū)間是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函數(shù)的減區(qū)間是(－2,2)，由于函數(shù)在(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，所以有k－1<－210．函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函數(shù)，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立
即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立
又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3
∴a≥－3，故應(yīng)選B.
二、題
11．函數(shù)y＝x32＋(1－x)32，0≤x≤1的最小值為______．
[答案]　22
由y′>0得x>12，由y′<0得x<12.
此函數(shù)在0，12上為減函數(shù)，在12，1上為增函數(shù)，∴最小值在x＝12時取得，ymin＝22.
12．函數(shù)f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在區(qū)間[－2，＋∞)上的最大值________，最小值為________．
[答案]　不存在；－2834
[解析]　f′(x)＝－36＋6x＋12x2，
令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝32；當x>32時，函數(shù)為增函數(shù)，當－2≤x≤32時，函數(shù)為減函數(shù)，所以無最大值，又因為f(－2)＝57，f32＝－2834，所以最小值為－2834.
13．若函數(shù)f(x)＝xx2＋a(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為33，則a的值為________．
[答案]　3－1
[解析]　f′(x)＝x2＋a－2x2(x2＋a)2＝a－x2(x2＋a)2
令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－a(舍去)
當x>a時，f′(x)<0；當00；
當x＝a時，f(x)＝a2a＝33，a＝32<1，不合題意．
∴f(x)max＝f(1)＝11＋a＝33，解得a＝3－1.
14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值為M，最小值為m，則M－m＝________.
[答案]　32
[解析]　f′(x)＝3x2－12
由f′(x)>0得x>2或x<－2，
由f′(x)<0得－2∴f(x)在[－3，－2]上單調(diào)遞增，在[－2,2]上單調(diào)遞減，在[2,3]上單調(diào)遞增．
又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，
f(3)＝－1，
∴最大值M＝24，最小值m＝－8，
∴M－m＝32.
三、解答題
15．求下列函數(shù)的最值：
(1)f(x)＝sin2x－x－π2≤x≤π2；
(2)f(x)＝x＋1－x2.
[解析]　(1)f′(x)＝2cos2x－1.
令f′(x)＝0，得cos2x＝12.
又x∈－π2，π2，∴2x∈[－π，π]，
∴2x＝±π3，∴x＝±π6.
∴函數(shù)f(x)在－π2，π2上的兩個極值分別為
fπ6＝32－π6，f－π6＝－32＋π6.
又f(x)在區(qū)間端點的取值為
fπ2＝－π2，f－π2＝π2.
比較以上函數(shù)值可得f(x)max＝π2，f(x)min＝－π2.
(2)∵函數(shù)f(x)有意義，
∴必須滿足1－x2≥0，即－1≤x≤1，
∴函數(shù)f(x)的定義域為[－1,1]．
f′(x)＝1＋12(1－x2)－12?(1－x2)′＝1－x1－x2 .
令f′(x)＝0，得x＝22 .
∴f(x)在[－1,1]上的極值為
f22＝22＋1－222＝2.
又f(x)在區(qū)間端點的函數(shù)值為f(1)＝1，f(－1)＝－1，比較以上函數(shù)值可得f(x)max＝2，f(x)min＝－1.
16．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.求f(x)在區(qū)間－34，14上的最大值和最小值．
[解析]　f(x)的定義域為－32，＋∞.
f′(x)＝2x＋22x＋3＝4x2＋6x＋22x＋3
＝2(2x＋1)(x＋1)2x＋3.
當－320；
當－1當x>－12時，f′(x)>0，
所以f(x)在－34，14上的最小值為
f－12＝ln2＋14.
又f－34－f14＝ln32＋916－ln72－116＝ln37＋12＝121－ln499<0，
所以f(x)在區(qū)間－34，14上的最大值為 f14＝ln72＋116.
17．(2010?安徽理，17)設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；
(2)求證：當a>ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.
[分析]　本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和證明函數(shù)不等式，考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力．
解題思路是：(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的極值．(2)將不等式轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明．
[解析]　(1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)
f′(x)－0＋
f(x)單調(diào)遞減 ?2(1－ln2＋a)單調(diào)遞增 ?
故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)證明：設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知當a>ln2－1時，g′(x)最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是對任意x∈R，都有g(shù)′(x)>0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增．
于是當a>ln2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>g(0)．
而g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
18．已知函數(shù)f(x)＝4x2－72－x，x∈[0,1]．
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；
(2)設(shè)a≥1，函數(shù)g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]．若對于任意x1∈[0,1]，總存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范圍．
[解析]　(1)對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得
f′(x)＝－4x2＋16x－7(2－x)2＝－(2x－1)(2x－7)(2－x)2
令f′(x)＝0解得x＝12或x＝72.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x0(0，12)
12
(12，1)
1
f′(x)－0＋
f(x)－72
?－4 ?－3
所以，當x∈(0，12)時，f(x)是減函數(shù)；
當x∈12，1時，f(x)是增函數(shù)．
當x∈[0,1]時，f(x)的值域為[－4，－3]．
(2)g′(x)＝3(x2－a2)．
因為a≥1，當x∈(0,1)時，g′(x)<0.
因此當x∈(0,1)時，g(x)為減函數(shù)，從而當x∈[0,1]時有g(shù)(x)∈[g(1)，g(0)]．
又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即x∈[0,1]時有g(shù)(x)∈[1－2a－3a2，－2a]．
任給x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，
則[1－2a－3a2，－2a]?[－4，－3]．
即1－2a－3a2≤－4，①－2a≥－3.②
解①式得a≥1或a≤－53；解②式得a≤32.


本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoer/63263.html

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