1．知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。
2.過程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，
3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；
教學(xué)難點：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。
學(xué)法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角
教學(xué)設(shè)想
[創(chuàng)設(shè)情景] C
如圖1．1-4，在 ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和 C，求邊c b a
A c B
[探索研究] (圖1．1-4)
聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？
用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。
由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。
A
如圖1．1-5，設(shè) ， ， ，那么 ，則
C B
(圖1．1-5)
從而
同理可證
余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即
思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：
[理解定理]從而知余弦定理及其推論的基本作用為：
①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；
②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？
（由學(xué)生總結(jié)）若 ABC中，C= ，則 ，這時
由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。
例題:例1．在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A
⑴解：∵
= cos
= = 8 ∴
求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos ∴
解法二：∵sin 又∵ ＞
＜ ∴ ＜ ， 即 ＜ ＜ ∴
評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。
例2．在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形
解：由余弦定理的推論得：
cos ；
cos ；
[隨堂練習(xí)]第51頁練習(xí)第1、2、3題。
[補(bǔ)充練習(xí)]在 ABC中，若 ，求角A（答案：A=120 ）
[課堂小結(jié)]（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，
勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的應(yīng)用范圍：①．已知三邊求三角；
②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。
（五）：作業(yè)：第52頁[習(xí)題2.1]A組第5題。
三角形中的幾何計算
教學(xué)目標(biāo)
1．知識與技能:掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。
2. 過程與方法:通過引導(dǎo)學(xué)生分析，解答三個典型例子，使學(xué)生學(xué)會綜合運用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問題。
3.情態(tài)與價值：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。
教學(xué)重點：在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。
教學(xué)難點：正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運用。
學(xué)法：通過一些典型的實例來拓展關(guān)于解三角形的各種題型及其解決方法。
教學(xué)設(shè)想:[創(chuàng)設(shè)情景]:思考：在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形。從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形。下面進(jìn)一步來研究這種情形下解三角形的問題。
[探索研究]:例1．在 ABC中，已知 ，討論三角形解的情況
分析：先由 可進(jìn)一步求出B；則 從而
1．當(dāng)A為鈍角或直角時，必須 才能有且只有一解；否則無解。
2．當(dāng)A為銳角時，如果 ≥ ，那么只有一解；
如果 ，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若 ，則有兩解；
（2）若 ，則只有一解； （3）若 ，則無解。
評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當(dāng)A為銳角且 時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。
[隨堂練習(xí)1]
（1）在 ABC中，已知 ， ， ，試判斷此三角形的解的情況。
（2）在 ABC中，若 ， ， ，則符合題意的b的值有_____個。
（3）在 ABC中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。 （答案：（1）有兩解；（2）0；（3） ）
例2．在 ABC中，已知 ， ， ，判斷 ABC的類型。
分析：由余弦定理可知
（注意： ）
解： ，即 ，∴ 。
[隨堂練習(xí)2]
（1）在 ABC中，已知 ，判斷 ABC的類型。
（2）已知 ABC滿足條件 ，判斷 ABC的類型。
（答案：（1） ；（2） ABC是等腰或直角三角形）
例3．在 ABC中， ， ，面積為 ，求 的值
分析：可利用三角形面積定理 以及正弦定理
解：由 得 ，
則 =3，即 ，從而
[隨堂練習(xí)3]
（1）在 ABC中，若 ， ，且此三角形的面積 ，求角C
（2）在 ABC中，其三邊分別為a、b、c，三角形的面積 ，求角C
（答案：（1） 或 ；（2） ）
[課堂小結(jié)]（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，
有兩解或一解或無解等情形；
（2）三角形各種類型的判定方法；
（3）三角形面積定理的應(yīng)用。
（五）課時作業(yè):
（1）在 ABC中，已知 ， ， ，試判斷此三角形的解的情況。
（2）設(shè)x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數(shù)x的取值范圍。
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