高考要求
1 理解點(diǎn)到平面、直線和直線、直線和平面、平面和平面距離的概念
2 會(huì)用求距離的常用方法（如：直接法、轉(zhuǎn)化法、向量法 對(duì)異面直線的距離只要求學(xué)生掌握作出公垂線段或用向量表示的情況）和距離公式計(jì)算七種距離
知識(shí)點(diǎn)歸納
1 點(diǎn)到平面的距離：已知點(diǎn) 是平面 外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn) 作 ，垂足為 ，則 唯一，則 是點(diǎn) 到平面 的距離
即 一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離
結(jié)論：連結(jié)平面 外一點(diǎn) 與 內(nèi)一點(diǎn)所得的線段中，垂線段 最短
2 異面直線的公垂線：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線．
3．公垂線唯一：任意兩條異面直線有且只有一條公垂線
4．兩條異面直線的公垂線段：兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分，叫做兩條異面直線的公垂線段；
5．公垂線段最短：兩條異面直線的公垂線段是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點(diǎn)的線段中最短的一條；
6．兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度
說明：兩條異面直線的距離 即為直線 到平面 的距離 即兩條異面直線的距離等于其中一條直線到過另一條直線且與這條直線平行的平面的距離
7 直線到與它平行平面的距離：一條直線上的任一點(diǎn)到與它平行的平面的距離,叫做這條直線到平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離)
8．兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段：
（1）兩個(gè)平面的公垂線：和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做兩個(gè)平面的公垂線
（2）兩個(gè)平面的公垂線段：公垂線夾在平行平面間的的部分，叫做兩個(gè)平面的公垂線段
（3）兩個(gè)平行平面的公垂線段都相等
（4）公垂線段小于或等于任一條夾在這兩個(gè)平行平面間的線段長(zhǎng)
9．兩個(gè)平行平面的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度叫做兩個(gè)平行平面的距離
10．七種距離：點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點(diǎn)到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個(gè)平行平面之間的距離，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、點(diǎn)到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點(diǎn)到平面的距離有時(shí)用“體積法”來求
10 用向量法求距離的公式：
⑴異面直線 之間的距離：
，其中
⑵直線 與平面 之間的距離：
，其中 是平面 的法向量
⑶兩平行平面 之間的距離：
，其中 是平面 的法向量
⑷點(diǎn)A到平面 的距離：
，其中 ， 是平面 的法向量
另法：點(diǎn) 平面
則
⑸點(diǎn)A到直線 的距離：
，其中 ， 是直線 的方向向量
⑹兩平行直線 之間的距離：
，其中 ， 是 的方向向量
題型講解
例1 設(shè)A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距離
解法一：∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），
∴
設(shè)平面ABC的法向量 =（x，y，z），
則 ? =0， ? =0，
∴
即
令z=－2，則 =（3，2，－2）
∴由點(diǎn)到平面的距離公式：
= = =
∴點(diǎn)D到平面ABC的距離為
解法二：設(shè)平面ABC的方程為：
將A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７）的坐標(biāo)代入，得
，
取B＝2，則平面ABC的法向量 =(A,B,C)=（3，2，－2）
又因?yàn)?
∴由點(diǎn)到平面的距離公式：
= = =
∴點(diǎn)D到平面ABC的距離為
點(diǎn)評(píng)： 求點(diǎn)到平面的距離除了根據(jù)定義及等積變換外，還可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一個(gè)法向量 的坐標(biāo)(兩種方法)，再求出已知點(diǎn)P與平面內(nèi)任一點(diǎn)M構(gòu)成的向量 的坐標(biāo)，那么P到平面的距離d= cos〈 ， 〉
例2 如圖所求，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長(zhǎng)為a的正方形，點(diǎn)P、Q分別是ED和AC的中點(diǎn)
求：（1） 與 所成的角；
（2）P點(diǎn)到平面EFB的距離；
（3）異面直線PM與FQ的距離
解：建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），
則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P（ ，0， ）、Q（ ， ，0）
（1）∴ =（－ ，0， ）， =（ ，－ ，－a），
? =（－ ）× +0+ ×（－a）=－ a2，
且 = a， = a
∴cos〈 ， 〉= = =－
故得兩向量所成的角為150°
（2）設(shè) =（x，y，z）是平面EFB的法向量，
即 =1， ⊥平面EFB，∴ ⊥ ， ⊥
又 =（－a，a，0）， =（0，a，－a），
即有 ，
取 ，則
∵ =（ ，0， ）
∴ 設(shè)所求距離為d，則 = a
（3）設(shè) =（x1，y1，z1）是兩異面直線的公垂線的方向向量，
則由 =（－ ，0， ）， =（ ，－ ，－a），得
取 ＝－1，則
而 =（0，a，0） 設(shè)所求距離為m，
則 = a
例3 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，求異面直線BD與B1C的距離
分析：雖然此題中沒有給出表示兩異面直線距離的線段，但是容易建立直角坐標(biāo)系，使它變?yōu)樽鴺?biāo)系下的異面直線距離的問題，還是屬于考試范圍的問題
解：建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0） B1（0，0，1），
則
設(shè)與 都垂直的向量為 ，
則由 和
得 ，
異面直線BD與B1C的距離：
小結(jié)：
1 用向量求點(diǎn)到平面的距離的步驟為：先確定平面的法向量，再求該點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線在法向量上的射影長(zhǎng)即得 也就是若 是平面 的法向量， 為平面內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn) 到平面 的距離為：
2 求異面直線的距離方法很多，但考綱僅要求會(huì)求圖中已給出表示異面直線間距離的線段，或在空間直角坐標(biāo)系下的異面直線的距離，對(duì)于第一類問題要先找出這條線段，證明它是所求距離，然后求之；第二類問題的求解步驟是：先求出與兩異面直線都垂直的一個(gè)向量，然后再求異面直線上兩點(diǎn)連線在這個(gè)向量上的射影的長(zhǎng)，即若 是與異面直線 都垂直的向量，點(diǎn) ，則異面直線與之間的距離：
3 兩平面間的距離一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面或線到面的距離來求解
學(xué)生練習(xí)
1 ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，以BD為棱把它折成直二面角A?BD?C，E是CD的中點(diǎn)，則異面直線AE、BC的距離為
A B C D 1
解析：易證CE是異面直線AE與BC的公垂線段，其長(zhǎng)為所求 易證CE=1 ∴選D
答案：D
2 在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一點(diǎn)P到A、B、C的距離都是14，則P到α的距離是
A 13B 11C 9D 7
解析：作PO⊥α于點(diǎn)O，連結(jié)OA、OB、OC，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC
∴O是△ABC的外心
∴OA= = =5
∴PO= =11為所求 ∴選B
答案：B
3 在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面MBD的距離是
A aB aC aD a
解析：A到面MBD的距離由等積變形可得
VA?MBD=VB?AMD 易求d= a
答案：D
4 平面α內(nèi)的∠MON=60°，PO是α的斜線，PO=3，∠POM=∠PON=4５°，那么點(diǎn)P到平面α的距離是
A B C D
解析：cos∠POM=cos∠POH?cos∠MOH，
∴ = cos∠POH ∴cos∠POH= ∴sin∠POH=
∴PH=PO?sin∠POH=3× =
答案：A
5 正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，E是CC1的中點(diǎn)，則E到A1B的距離是
A aB aC aD a
解析：連結(jié)A1E、BE，過E作EH⊥A1B于H，
在△A1BE中易求EH= a
答案：D
6 A、B是直線l上的兩點(diǎn)，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC與BD成60°的角，則C、D兩點(diǎn)間的距離是_______
解析：CD=
答案：5或
7 設(shè)PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分別與α成45°和30°角，PA=2，則PA與BC的距離是_____________；點(diǎn)P到BC的距離是_____________
解析：作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD ∴AD是PA與BC的公垂線 易得AB=2，AC=2 ，BC=4，AD= ，連結(jié)PD，則PD⊥BC，P到BC的距離PD=
答案：
8 已知l1、l2是兩條異面直線，α、β、γ是三個(gè)互相平行的平面，l1、l2分別交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1與α成30°角，則β與γ的距離是__________；DE=__________
解析：由直線與平面所成角的定義及平行平面距離定義易得β與γ間距離為6 由面面平行的性質(zhì)定理可得 = ，∴ = ，即 = ∴DE=2 5
答案：6 2 5
9 已知正方體ABCD?A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為a，E、F分別是棱A1B1、CD的中點(diǎn)
（1）證明：截面C1EAF⊥平面ABC1
（2）求點(diǎn)B到截面C1EAF的距離
（1）證明：連結(jié)EF、AC1和BC1，易知四邊形EB1CF是平行四邊形，從而EF∥B1C，直線B1C⊥BC1且B1C⊥AB，則直線B1C⊥平面ABC1，得EF⊥平面ABC1 而EF 平面C1EAF，得平面C1EAF⊥平面ABC1
（2）解：在平面ABC1內(nèi)，過B作BH，使BH⊥AC1，H為垂足，則BH的長(zhǎng)就是點(diǎn)B到平面C1EAF的距離，在直角三角形中，BH= = =
另法：建立坐標(biāo)系(略)
10 已知直線l上有兩定點(diǎn)A、B，線段AC⊥l，BD⊥l，AC=BD=a且AC與BD成120°角，求AB與CD間的距離
解法一：在面ABC內(nèi)過B作BE⊥l于B，且BE=AC，則ABEC為矩形
∴AB∥CE
∴AB∥平面CDE
則AB與CD的距離即為B到DE的距離
過B作BF⊥DE于F，易求BF= a
解法二：建系如圖，則A（0，0，b），C（－ a， a，a），D（a，0，0），
設(shè)AB與CD的公垂線的一個(gè)方向向量 =（x，y，z），
利用 ? =0， ? =0，
求出 ，則d= = a
課前后備注
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoer/66410.html
相關(guān)閱讀：空間角的計(jì)算學(xué)案練習(xí)題