雙曲線第一定義在解題中的應(yīng)用

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高二 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)
雙曲線的第一定義是圓錐曲線部分的重要概念,在解題中有著重要的應(yīng)用,本文將雙曲線的第一定義在解題中的應(yīng)用作以介紹,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.
一、利用雙曲線第一定義求軌跡方程
例1已知 中,C(-2,0),B(2,0), ,求頂點(diǎn)A的軌跡方程.
分析:用正弦定理將 化為 ,由雙曲線的第一定義知頂點(diǎn)A的軌跡是以C、B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支.
解析:由正弦定理及 得,∴
由雙曲線的第一定義知頂點(diǎn)A的軌跡是以C、B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支
∴ , ,∴ =3
∴頂點(diǎn)A的軌跡方程為 ( ).
點(diǎn)評(píng):本題考查了雙曲線的第一定義、正弦定理及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用定義求軌跡是求軌跡問(wèn)題的一種重要方法.
二、利用雙曲線第一定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題
例2 已知 , 是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò) 與橢圓實(shí)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若△ 是正三角形,求雙曲線的離心率.
分析:本題關(guān)鍵在于尋找 、 間關(guān)系,結(jié)合圖形,容易找到此關(guān)系.
解析:由△ 是正三角形,得 是 為 的直角三角形,設(shè) = ,則 ,則 = ,由雙曲線第一定義知, = ,又 = = = = .
點(diǎn)評(píng):本題考查了雙曲線的第一定義與橢圓性質(zhì),對(duì)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題,常用到第一定義.
例3 已知雙曲線 ( )的焦點(diǎn)分別為 , ,P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn), = ( ),求 的面積.
分析:已知 = ,關(guān)鍵是求 的值,聯(lián)系 = ,使我們想到余弦定理,配方后用雙曲線第一定義即可求得.
解析:設(shè)雙曲線的焦距為 ,有雙曲線的第一定義知, = ,
在 中,由余弦定理得, = = ,
∴ = =
∴ = = = .
點(diǎn)評(píng):解決雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題時(shí),要充分利用正弦定理、余弦定理、雙曲的第一定義,關(guān)鍵是配湊出 的形式,注意點(diǎn)P在雙曲線的哪一支上.
三、利用第一定義計(jì)算雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離問(wèn)題
例4已知 , 分別是雙曲線 的左右焦點(diǎn),過(guò) 的直線與雙曲線左支交于 , ,弦AB=4,求 的周長(zhǎng).
分析:本題涉及雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離問(wèn)題,利用雙曲線的第一定義求解.
解析:因?yàn)?, 在雙曲線上,所以 =8, =8,
∴ =16,而 ,
∴ ,∴ ,即 的周長(zhǎng)為24.

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