掌握不等式的性質(zhì)及其證明，能正確使用這些概念解決一些簡單問題
知識點歸納
1．實數(shù)的大小順序與運算性質(zhì)之間的關(guān)系：
2．不等式的性質(zhì)：
（1） ， （反對稱性）
（2） ， （傳遞性）
（3） ，故 （移項法則）
推論： （同向不等式相加）
（4） ，
推論1：
推論2：
推論3：
不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎，對于這些性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解和熟練運用，要弄清每一個條件和結(jié)論，學會對不等式進行條件的放寬和加強
題型講解
例1 已知三個不等式：①ab>0 ②bc>ad ③ > ,以其中兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，則可以組成多少個正確的命題？并寫出這些命題
解：可以組成下列3個命題
命題一：若ab>0， > , 則bc>ad
命題二：若ab>0，bc>ad 則 > ,
命題三：若 > , bc>ad 則ab>0
由不等式的性質(zhì)得知這三個命題均為真命題
例2有三個條件：（1）ac2>bc2；(2) ＞ ；(3)a2>b2，其中能分別成為a>b的充分條件的個數(shù)有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：（1）由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故ac2>bc2是a>b的充分條件 （2）c<0時，ab的充分必要條件，故答案選B
例3 若a>b>1，P= ， Q= (lg a +lg b ),R=lg( ),試比較P ，Q， R的大小
解：∵a>b>1，∴l(xiāng)g a> lg b>0，
∴ < ，即P
∴ < lg( )，即Q
分析：因為f(－1)=a－b, f(1)=a+b,而1≤a－b≤2, 2≤a+b≤4;又a+b與a－b中的a,b不是獨立的，而是相互制約的，因此，若將f(－2)用a－b與a+b,表示，則問題得解
解：設f(－2)=m f(－1)+n f(1), (m,n為代定系數(shù))
則4a－2b=m(a－b)+n(a+b)
即4a－2b=（m+n）a－(m－n)b,
于是得 得：m=3, n=1
∴f(－2)=3 f(－1)+ f(1)
∵1≤f(－1) ≤2, 2≤f(1) ≤4
∴5≤3f(－1)+ f(1) ≤10,
故5≤f(－2)≤10,
另法：以上解題過程簡化如下：
由 得
∴f(－2)=4a－2b=3 f(－1)+ f(1)
點評:嚴格依據(jù)不等式的基本性質(zhì)和運算法則,是正確解答此類題目的保證 若先將參數(shù)a,b的范圍求出,而后再求f(－2)的范圍,這樣操作是錯誤的,因為解題過程沒有忠實題目所給條件,即變形不等價,由所求的參數(shù)a,b的范圍并不能得到已知條件所給的f(－1)及f(1)的范圍,這樣,已經(jīng)改變了題目的條件,當然,所求的結(jié)果就不是實際的結(jié)果 因此,在解題的過程中,務必盡可能保持變形的等價性,以免發(fā)生錯誤
例5已知a>b>c，a+b+c=0 方程ax2+bx+c=0的兩個實根為x1，x2
（1）證明：－ ；
（2）若x12+x1x2+x22=1，求x12－x1x2+x22
（3）求
解：（1） a>b>c，a+b+c=0,
∴ ,
∴a>0，1>
∴
(2)(方法1) a+b+c=0
∴ax2+bx+c=0有一根為1，
不妨設x1=1,則由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0，
而x2=x1x2= <0(3c
(方法2) x1+x2=－ ，x1x2=
由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2－ x1x2= =1，
∴
∴x12－x1x2+x22= x12+x1x2+x22－2x1x2=1－2x1x2=1+
（3）由（2）知，
=
∴－
∴
小結(jié):在不等式的性質(zhì)中，要特別注意下面4點：
1 不等式的傳遞性：若a>b,b>c, 則a>c,這是放縮法的依據(jù)，在運用傳遞性時，要注意不等式的方向，否則易產(chǎn)生這樣的錯誤：為證明a>c,選擇中間量b,在證出a>b,c>b,后，就誤認為能得到a>c
2 同向不等式可相加但不能相減，即由a>b,c>d，可以得出a+c>b+d,
但不能得a?c>b?d
3 不等式兩邊同時乘以一個數(shù)或式時，只有該數(shù)或式保證為正，才能得到同向的不等式，否則不能保證所乘之數(shù)或式為正，則不等式兩邊同時乘以該數(shù)或式后不能確定不等式的方向；不等式兩邊同偶次乘方時，也要特別注意不等式的兩邊必須是正
總之，不等式的概念和性質(zhì)是本章內(nèi)容的基礎，是證明不等式和解不等式的主要依據(jù)，必須透徹理解，特別要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘時，兩個不等式都需大于零 處理分式不等式時不要隨便將不等式兩邊乘以含有字母的分式，如果需要去分母，一定要考慮所乘的代數(shù)式的正負
作差法是證明不等式的最基本也是很重要的方法，應引起高度注意
學生練習
1．已知a
答案: D
2．已知命題甲：ac
A 充分非必要條件 B 必要非充分條件 C 充要條件 D 非充分非必要條件
答案: D
3．若a+cA －b
4．設a= , b= － , c= － ，則a, b, c的大小順序是（ ）
A c
5 若0
答案：B
提示：∵0
6．若b<0
答案: C
7．已知1
答案: C
提示: M－N＝－x2＋4x－3=－(x－2)2－1, x∈(1, 3), M－N>0
8．已知ab≠0，則 >1是 <1的（ ）條件
A 充分非必要條件 B 必要非充分條件 C 充要條件D 非充分非必要條件
答案: A
提示:∵ab≠0， >1 ,若a>0, b>0,則b>a>0,
∴ <1; 若a<0, b<0,則b
答案: A
10 下列函數(shù)中，其最小值為2的函數(shù)是（ ）
A y=x＋ B y=sinθ＋secθ(0<θ< )
C y= D y=sinθ＋cscθ(0<θ<π)
答案：D
11．設a, b為實數(shù)，且a＋b=3，則2a＋2b的最小值是（ ）
A 6 B 4 C 2 D 2
答案: B
提示: ∵a＋b=3, ∴2a＋2b≥2 =4
12．已知k為實數(shù), 方程x2＋(k＋3 )x＋4＋k =0有實根的充要條件是
A k≥4 B －3 ≤k≤3 C k=±3 D k≠0
答案: C
提示: ∵方程x2＋(k＋3 )x＋4＋k =0有實根，∴x2＋kx＋4＝0,且3x＋k=0, x=－ , 代入到x2＋kx＋4＝0中解得k=±3
13．若實數(shù)x, y滿足x2＋y2－2x＋4y=0，則x－2y的最大值是（ ）
A B 10 C 9 D 5＋2
答案: B
提示: 方程x2＋y2－2x＋4y=0化為(x－1)2＋(y＋2)2=5, (x, y)為圓上一點，設x=1＋ sinα,y=－2＋ cosα, 則x－2y=5＋5sin(α＋φ), ∴最大值為10
14．若0
答案: B
提示: b>a, b> , 2a<1, 2ab
A (a－1)(c－1)>0 B ac=1 C ac>1 D ac<1
答案: D
提示: 用圖象分析, a<1, b<1, c>1,又f A >f C ， >c, ∴ac<1
16．不等式 ＋ >2成立的充要條件是
答案: ab>0且a
17．若a>0, b>0, a＋b=1，比較大小： 2
答案: ≤
18．已知lgx＋lgy=2，則 ＋ 的最小值是
答案:
提示: xy=100, ＋ ≥2 =
19．當x≠0時, 的最大值是
答案:
20．若直角三角形的周長為2，則它的最大面積是
答案: 3－2
提示: 設斜邊為 c, a=csinα, b=ccosα, a＋b＋c=2, c(1＋sinα＋cosα)=2, c[1＋ sin(α＋ )]=2, c≤ =2( －1), S△= c2sin2α≤ c2=3－2
21．若2x2＋3y2=64，則x2＋y2的最大值是
答案: 32
提示: x2＋y2= , x2≤32, ∴x2＋y2≤32
22．若不等式 <1對于x取一切實數(shù)都成立，則k值的范圍 是
答案: 1
答案: 0≤k<4
提示: 當k=0時, 不等式成立，當k≠0時, 要求k>0且 <0,解得0
答案: 9
提示: (a＋b＋c)( ＋ ＋ )=3＋ ≥9
25．若8x2＋ ＋ =6，且xy>0，則x= , y=
答案: x=± , y=±1
提示: ∵ xy>0, ∴8x2＋ ＋ ≥3 =6,當8x2= = 時,等號成立，∴x=± , y=±1
26．設－1
答案：B
27．若x>y>1，且0
A 1 B 2 C 3 D 4
答案：D
28 下列命題：① a≥b a－b≥0; ② 3≥5是矛盾不等式; ③ x2－2x＋2>0是條件不等式; ④ a＋1>1是絕對不等式 其中真命題的個數(shù)為（ ）
A 0個 B 1個 C 2個 D 3個
答案：C 提示：①、②是真命題
29 設數(shù)軸（方向由左向右）上的點M、N分別對應于坐標xM、xN,且xM
C M在原點左邊，N在原點右邊 D M在N左邊
答案：D
30 下列判斷：① a1>b, a2>b則a1>a2; ② 若ac>bc, 則c>0;
③ 由lg >lg , 2>1,有2lg >lg ; ④ a>b,則 < ,其中不能成立的個數(shù)是（ ）
A 1個 B 2個 C 3個 D 4個
答案：D
31 若a3<－6,下列關(guān)系式中正確的是（ ）
A a4>－6a B a2<－6/a C a3－1<－8 D a>
答案：A
32 下列命題：①不等式兩邊減去同一個數(shù)或式子，不等號方向不變；②兩個不等式兩邊分別相加得到與被加式同向的不等式；③不等式兩邊改變符合時，不等號反向；④兩個同向不等式的對應邊相乘，方向不變；⑤兩個異向不等式的對應邊相除新不等式與被除式同向 其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A 3個 B 4個 C 2個 D 5個
答案：C 提示：①, ③正確
33 設a>b>0, 0
C a?lg(sinx)≥ b?lg(sinx) D a?lg(sinx)≤ b?lg(sinx)
答案：D 提示：lg(sinx)≤0, ∴a?lg(sinx)≤ b?lg(sinx)
34 若a－b>a, a＋b
答案：C
35 下列推導中，不正確的是（ ）
A c－a
C a>b>0, c>d>0 D a
36 若a、b、c、d 四個數(shù)滿足條件：①d>c; ② a＋b=c＋d; ③ a＋d
答案：D
37 下列命題中正確的是（ ）
A 由不等式M可以導出不等式N，則M是N成立的必要條件
B M≥N是M>N成立的充分條件
C 不等式M與不等式N兩者等價，則M是N的充要條件
D 不等式M不成立時，不等式N也不成立，則M是N的充分條件
答案：C
38 若a,b∈R, c∈Q, 則使ac >bc成立的充分條件是（ ）
A a>b>0, c<0 B a>b, a>0, c>0 C b>a>0, c<0 D b>a>0, c>0
答案：C
39 下列不等式在a、b>0時一定成立的是（ ）
A ≤ ≤ ≤
B ≤ ≤ ≤
C ≤ ≤ ≤
D ≤ ≤ ≤
答案：A
40 a>0, a≠1，P＝log a(a3+1), Q=log a(a2+1), 則P、Q的大小關(guān)系是（ ）
A P>Q B P答案：A
41 在下列結(jié)論中錯用重要不等式作依據(jù)的是（ ）
A x、y、z∈R+ ,則 ≥ 3 B ≥2
C lgx＋log x10≥2 D a∈R+, (1＋a)(1＋ )≥4
答案：C 提示：C 中要求x>1, 當0
答案：B 提示： － ＝ <0, ∴ ≥ 恒不成立
43 下列說法正確的是（ ）
A n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
B 三個數(shù)的立方和不小于這三個數(shù)的積的三倍
C 一個數(shù)與其倒數(shù)之和不小于2
D 幾個非負數(shù)之和也一定非負
答案：D
44 若a>0>b, 則 (填“>”,“<”或“=”)
答案：>
45 若a>0,b<0,a＋b>0,則a、b、－a、－b的大小關(guān)系是
答案：a>－b>b>－a
46 介于兩個連續(xù)自然數(shù)之間，這兩個數(shù)是
答案：3, 4 提示： =lg(24×32×7)=lg1008,
∴3< <4
47 若不等式A與不等式B等價，則A是B的 條件；若由不等式A可以導出不等式B，則A是B的 條件
答案：充要條件；充分條件
48 當條件 滿足時， 成立
答案：ab>0, a>b或a<0,b>0
49 在用分析法證明不等式過程中，前面的不等式是后面不等式的 條件；后面不等式是前面不等式的 條件
答案：必要條件；充分條件
50 使不等式a2>b2, >1, lg(a－b)>0, 2 a>2b－1都成立的a與b的關(guān)系式是
答案：a>b＋1且b>0
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