武漢二中201學年學期高年級期中考試 試卷考試時間：201年月日 上午：—11： 試卷滿分：分1. 三個數(shù)208，351，429的最大公約數(shù)是（ ）A．65B．91C．26D．132. 把389轉化成四進制數(shù)時，其末位是（ ）A．2B．1C．3D．03. 用秦九韶算法計算多項式當?shù)闹禃r，先算的是（ ）A．B．C．D．4. 若實數(shù) 滿足 ，則直線 必過定點（ ）A．（-2 ，8）B．（2 ,8）C．（-2 ，-8）D．（2 ，-8）5. 如圖，矩形和矩形中，矩形可沿任意翻折，分別在上運動，當不共線，不與重合，且時，有（ ）A．平面B．與平面相交C．平面D．與平面可能平行，也可能相交6. 設為整數(shù)，若和所得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為已知，則的值可以是（ ） A．B．C．D．7. 設區(qū)間是方程的有解區(qū)間，用二分法求出方程在區(qū)間上的一個近似解的流程圖如圖，設，現(xiàn)要求精確度為，圖中序號①，②處應填入的內(nèi)容為（ ）A．B．C．D．8. 有以下四個命題：①從1002個學生中選取一個容量為20的樣本，用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽取時先隨機剔除2人，再將余下的1000名學生分成20段進行抽取，則在整個抽樣過程中，余下的1000名學生中每個學生被抽到的概率為；②線性回歸直線方程必過點（）；③某廠10名工人在一小時內(nèi)生產(chǎn)零件的個數(shù)分別是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為17，中位數(shù)為15；④某初中有270名學生，其中一年級108人，二、三年級各81人，用分層抽樣的方法從中抽取10人參加某項調(diào)查時，將學生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1，2，…270.則分層抽樣不可能抽得如下結果：30，57，84，111，138，165，192，219，246，270. 以上命題正確的是（ ）A．①②③B．②③C．②③④D．①②③④9. 某班班會準備從含甲、乙的7名學生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙2人至少有一人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時順序不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序種數(shù)為（ ）A．720B．520C．600D．36010. 已知圓C的方程為，為定點，過A的兩條弦互相垂直，記四邊形面積的最大值與最小值分別為 ，則是（ ）A．200B．100C．64D．3611. 已知，，若向量共面，則＝ .12. 如圖是某學校一名籃球運動員在五場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖，則該運動員在這五場比賽中得分的方差為_________.13. 若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是 . 14. 已知圓C的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則的最大值是 . 15. 利用計算機隨機模擬方法計算與所圍成的區(qū)域的面積時，可以先運行以下算法步驟：第一步：利用計算機產(chǎn)生兩個在0～1區(qū)間內(nèi)的均勻隨機數(shù)第二步：對隨機數(shù)實施變換：得到點第三步：判斷點的坐標是否滿足第四步：累計所產(chǎn)生的點的個數(shù)，及滿足的點A的個數(shù)第五步：判斷是否小于（一個設定的數(shù)）.若是，則回到第一步，否則，輸出并終止算法.（1）點落在上方的概率計算公式是 ； （2）若設定的，且輸出的，則用隨機模擬方法可以估計出區(qū)域的面積為 （保留小數(shù)點后兩位數(shù)字）. 三、解答題(本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)16. (本小題滿分12分)已知（N*）展開式中二項式系數(shù)和為256.（1）此展開式中有沒有常數(shù)項？有理項的個數(shù)是幾個？并說明理由。（2）求展開式中系數(shù)最小的項.17. (本小題滿分12分)為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務宣傳志愿者.從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡分組區(qū)間是：（1）求圖中的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在的人數(shù)；（2）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取20名參加中心廣場的宣傳活動，再從這20名中采用簡單隨機抽樣方法選取3名志愿者擔任主要負責人.求抽取的3名志愿者中恰有2名年齡低于35歲的概率.18. (本小題滿分12分) 已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球個.若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是（1）求的值；（2）從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為，第二次取出的小球標號為（i）記“”為事件,求事件的概率；（ii）在區(qū)間[0，2]內(nèi)任取2個實數(shù)，求事件“恒成立”的概率.19. (本小題滿分12分)在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面平面，，點在棱上.（1）若是的中點，求證：平面（2）若二面角的余弦值為，求的長度.20. (本小題滿分13分) 已知點,平面內(nèi)的動點滿足(為常數(shù)，>0).（1）求點的軌跡的方程，并指出其表示的曲線的形狀.（2）當時，的軌跡與軸交于兩點，是軌跡上異于的任意一點，直線，直線與直線交于點，直線與直線交于點.求證：以為直徑的圓總過定點，并求出定點坐標.21. (本小題滿分14分)運行如圖所示的程序框圖，將輸出的依次記作輸出的依次記作 ；輸出的依次記作（）（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求 的值（3）求證：武漢二中014學年學期高年級期中考試 試卷一、選擇題（共50分）題號答案DBCDADBCCB二、填空題（共25分）11. 3 12.6.8 13. 72+ 14. 15. , 35.64三、解答題（共75分）16.解：（1）由題意，二項式系數(shù)和為解得通項.若為常數(shù)項，當且僅當，即，且Z，這是不可能的，所以展開式中不含常數(shù)項.若為有理項，當且僅當Z，且，即，故展開式中共有5個有理項.…………………………………………6分（2）設展開式中第項，第項，第項的系數(shù)絕對值分別為，若第項的系數(shù)絕對值最大，則，解得，故或6.∵時，第6項的系數(shù)為負，時，第7項的系數(shù)為正，∴系數(shù)最小的項為. …………………………12分17.解：（1）∵小矩形的面積等于頻率，∴除外的頻率和為0.70.∴故在500名志愿者中，年齡在歲的人數(shù)為 …………6分（2）用分層抽樣的方法，從中選取20名，則其中“年齡低于35歲”的人有12名，“年齡不低于35歲”的人有8名.∴抽取的3名志愿者中恰有2名年齡低于35歲的概率為 …………12分18.解：（1）依題意，得. ………………………………………………4分（2）（i）記標號為0的小球為，標號為1的小球為，標號為2的小球為，則取出2個小球的可能情況有：，共12種，其中滿足“”的有4種；，所以所求概率為.……………………………………8分（ii）記“恒成立”為事件B，則事件B等價于“恒成立”，（）可以看成平面中的點的坐標，則全部結果所構成的區(qū)域為＝,而事件B構成的區(qū)域為，所以所求的概率為……………………………………12分19.解：（1）連接交于點，連接因為是的中點，為矩形對角線的交點.所以為的中位線，所以因為平面所以 ………………………………6分（2）因為,所以,因為平面平面，且平面平面所以平面以為坐標原點,分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系則.易知平面，所以平面的一個法向量為n1＝（1，0，0），設，易知.設平面的法向量為n2＝（），則有，得n2＝（－2，1，）.所以｜〈n1 ，n2〉｜＝，即解得，或（舍去）.此時 ……………………………………………………12分20.解：（1）設點，由得： 變形整理得：當時，化為，此時軌跡所表示的曲線為直線.當時，化為此時軌跡所表示的曲線是以為圓心，半徑為的圓. …………6分（注：沒有的情形扣2分）（2）時，的軌跡方程為，此時，設，則直線的方程為：.聯(lián)立方程，得 同理∴以為直徑的圓的方程為，又整理得：.令則有，解得∴以為直徑的圓總過定點，且定點坐標為（）……………………13分21．（1）由題意知：……………………4分（2）由題意，當時，此時，當時，綜上，…………………………9分（3）當時，此時，當時，由（2）知又即要證明的不等式轉化為證明：即證明（注：忽略的情形將轉化為的本小問0分）又綜上，成立. ……………………14分湖北省武漢二中－學年高二上學期期中考試_數(shù)學理試題
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