情境一、財(cái)主兒子學(xué)寫字的笑話、“小明弟兄三個(gè)，大哥叫大毛……”的腦筋急轉(zhuǎn)彎等；
教師總結(jié)：財(cái)主的兒子很傻很天真，但他懂一樣思想方法，是什么？ 以上都是由特殊情況歸納出一般情況的方法---歸納法，這就是今天的課題. 人們通常也會(huì)用歸納法思考問題，小孩也會(huì)由此總結(jié)出什么年齡人該叫爺爺，什么年齡人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.
情境二：華羅庚的“摸球?qū)嶒?yàn)”
1、這里有一袋球共12個(gè)，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請(qǐng)問怎么判斷？
啟發(fā)回答:
方法一：把它全部倒出來看一看．特點(diǎn)：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．
方法二：一個(gè)一個(gè)拿，拿一個(gè)看一個(gè)．
比如結(jié)果為：第一個(gè)白球，第二個(gè)白球，第三個(gè)白球，……，第十二個(gè)白球，由此得到：這一袋球都是白球．特點(diǎn)：有順序，有過程．
2、如果想象袋子有足夠大容量，球也無限多？要判斷這一袋球是白球，還是黑球，上述方法可行嗎？
情境三: 回顧等差數(shù)列 通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程：
設(shè)計(jì)意圖：首先設(shè)計(jì)情境一,分析情境，自然引出課題----歸納法，談笑間進(jìn)入正題.再通過情境二的交流激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．情境三點(diǎn)出兩種歸納法的不同特點(diǎn).通過梳理我們熟悉的一些問題，很自然為本節(jié)課主題與重點(diǎn)引出打下伏筆.
二、師生互動(dòng)，探究問題
承上啟下：以上問題的思考和解決，用的都是歸納法.什么是歸納法？ 歸納法特點(diǎn)是什么？上述歸納法有什么不同呢？
學(xué)生回答以上問題，得出結(jié)論：
1. 歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法. 特點(diǎn)：由特殊→一般；
2. 完全歸納法: 把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法；
3. 不完全歸納法: 根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法.
在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法有著廣泛的應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者，地震工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測(cè)，水文預(yù)報(bào)，地震預(yù)測(cè)用的就是歸納法．
4. 引導(dǎo)學(xué)生舉例：
⑴不完全歸納法實(shí)例：如歐拉發(fā)現(xiàn)立體圖形的歐拉公式: (V為頂點(diǎn)數(shù),E為棱數(shù),F為面數(shù))
⑵ 完全歸納法實(shí)例： 如證明圓周角定理時(shí)，分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況討論．
設(shè)計(jì)意圖：從生活走向數(shù)學(xué)，與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，并在這里我安排學(xué)生舉完全歸納法的實(shí)例和不完全歸納法實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)歸納意識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實(shí)早已接觸過歸納法，并引導(dǎo)學(xué)生積極投入到探尋論證方法過程的氛圍中.
三 、借助史料, 引申思辨
問題1： 已知 ＝ （n∈N），
(1) 分別求 ； ； ； ．
(2) 由⑴你會(huì)有怎樣的一個(gè)猜想？這個(gè)猜想正確嗎？
問題2： 費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對(duì)微積分的創(chuàng)立作出貢獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對(duì)數(shù)論也有許多貢獻(xiàn)．他曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時(shí)， 一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n＝0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的．后來，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了 ＝4 294 967 297＝6 700 417×641，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)．沒想到當(dāng)n＝5這一結(jié)論便不成立．
教師總結(jié): 有人說，費(fèi)馬為什么不再多算一個(gè)數(shù)呢？今天我們是無法回答的．但是要告訴同學(xué)們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個(gè)數(shù)上！
問題3 ： , 當(dāng)n∈N時(shí)， 是否都為質(zhì)數(shù)？
驗(yàn)證： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝ ，是合數(shù)．
承上啟下：這里算了39個(gè)數(shù)不算少了吧，但還是不行！我們介紹以上兩個(gè)資料，不是說世界級(jí)大師還出錯(cuò)，我們有錯(cuò)就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學(xué)了，而是要找出運(yùn)用歸納法出錯(cuò)的原因，并研究出對(duì)策來 , 尋求數(shù)學(xué)證明.
教師設(shè)問：,不完全歸納法為什么會(huì)出錯(cuò)？如何彌補(bǔ)不足？怎么給出證明呢？
設(shè)計(jì)意圖：在生活引例與已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料，能夠讓學(xué)生多方位多角度體會(huì)歸納法，感受使用歸納法的普遍性．同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完全歸納法常常會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大師都有可能如此．那么，不完全歸納法價(jià)值體現(xiàn)在哪里？不足之處如何去彌補(bǔ)呢？ 結(jié)論正確性怎樣給出證明？學(xué)生一定會(huì)帶著許多問題進(jìn)入下一階段探究.
四、實(shí)例再現(xiàn)，激發(fā)興趣
1、演示多米諾骨牌游戲視頻.
師生共同探討多米諾骨牌全部依次倒下的條件：
⑴ 第一塊要倒下;
⑵ 當(dāng)前面一塊倒下時(shí)，后面一塊必須倒下;
當(dāng)滿足這兩個(gè)條件后，多米諾骨牌全部都倒下.
再舉例：再舉幾則生活事例：推倒自行車, 早操排隊(duì)對(duì)齊等．
2、學(xué)生類比多米諾骨牌依順序倒下的原理，探究出證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法（建立數(shù)學(xué)模型）.
設(shè)計(jì)意圖：布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程．這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)．另外，這個(gè)環(huán)節(jié)里，我在培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、類比概括能力方面實(shí)踐的不夠好．應(yīng)該讓學(xué)生在類比多米諾骨牌游戲的基礎(chǔ)上說出數(shù)學(xué)歸納法原理，教師給予肯定和補(bǔ)充即可。事實(shí)上，情境的設(shè)計(jì)都是為學(xué)生更好的知識(shí)遷移而服務(wù)的。概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括”，這里知識(shí)、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，突破口就是學(xué)生的概括過程．
五、類比聯(lián)想，形成概念
1、 類比多米諾骨牌過程, 證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式 (師生共同完成,教師強(qiáng)調(diào)步驟及注意點(diǎn))
(1) 當(dāng)n＝1時(shí)等式成立；
(2) 假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立, 即 ,
則 = , 即n＝k＋1時(shí)等式也成立．
于是, 我們可以下結(jié)論： 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 對(duì)任何n∈ 都成立．
2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法原理(學(xué)生表述,教師補(bǔ)正)：
（1）（遞推奠基）：n取第一個(gè)值 (例如 )時(shí)命題成立；
（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）
利用它證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.（歸納證明）
由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．
3、數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)：無窮的歸納→有限的演繹（遞推關(guān)系）
設(shè)計(jì)意圖：至此，由生活實(shí)例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納原理, 揭示遞推過程.教師強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)歸納法特點(diǎn). 數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際上是一種以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個(gè)無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過程，是處理自然數(shù)有關(guān)問題的有力工具，一種具普遍性的方法.
六、討論交流，深化認(rèn)識(shí)
例1、 數(shù)列 中, ＝1, (n∈ ), 通項(xiàng)公式是什么？你是怎么得到的？
探討一：觀察數(shù)列 特點(diǎn)，變形解出.
探討二：先計(jì)算 ， ， 的值，再推測(cè)通項(xiàng) 的公式, 最后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論．
設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題使學(xué)生探究嘗試，一方面體驗(yàn)“觀察—?dú)w納—猜想—證明”完整過程，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能使他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問題的意識(shí)和能力．不同的方法也體現(xiàn)解決問題的靈活性.
七、反饋練習(xí), 鞏固提高
（請(qǐng)兩位同學(xué)板演以下兩題，教師指正）
1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝ ．
2、首項(xiàng)是 ，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是 ．
3、用數(shù)學(xué)歸納法證明： 時(shí)，下列推證是否正確，說出理由？
證明：假設(shè) 時(shí)，等式成立
就是 成立
那么
=
這就是說當(dāng) 時(shí)等式成立，
所以 時(shí)等式成立.
4、判斷下列推證是否正確，若是不對(duì)，如何改正.
求證：
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝ 右邊＝ ，等式成立.
�、谠O(shè)n=k時(shí)，有
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有
，即n=k+1時(shí)，命題成立
根據(jù)①②可知，對(duì)n∈N＊，等式成立.
設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)題1，2的證明難度不大，套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答，通過這兩個(gè)練習(xí)能看到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況．這樣既可以檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，保證不盲目拔高，同時(shí)不沖淡本節(jié)課的重點(diǎn)，對(duì)例題是一個(gè)很好的對(duì)比與補(bǔ)充．通過3，4的易錯(cuò)辨析，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論，“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”.
八、總結(jié)歸納，加深理解
1、本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；
2、歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，枚舉法僅局限于有限個(gè)元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；
3、數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；
4、本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證思想．
九、布置作業(yè), 課外延伸
十、書面作業(yè)：見教材P56
課后思考題：
1. 是否存在常數(shù)a、b、c使得等式：
對(duì)一切自然數(shù)n都成立 并證明你的結(jié)論.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoer/69944.html
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