1．知識與技能:
通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。
2. 過程與方法
讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。
3．情態(tài)與價值
培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。
教學難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。
學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系： ，接著就一般斜三角形進行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷，新穎。
教學設想
[創(chuàng)設情景]
如圖1．1-1，固定 ABC的邊CB及 B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動。 A
思考： C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關系？
顯然，邊AB的長度隨著其對角 C的大小的增大而增大。能否
用一個等式把這種關系精確地表示出來？ B C
[探索研究] (圖1．1-1)
在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在Rt ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有 ， ，又 ,
A
則 b c
從而在直角三角形ABC中， C a B
(圖1．1-2)
思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？
（由學生討論、分析）
可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：
如圖1．1-3，當 ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD= ,則 ，
C
同理可得 ， b a
從而
A c B
(圖1．1-3)
思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。
（證法二）：過點A作 ，
C
由向量的加法可得
則 A B
∴
∴ ，即
同理，過點C作 ，可得
從而
類似可推出，當 ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）從上面的研探過程，可得以下定理
正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即
[理解定理]:（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使 ， ， ；
（2） 等價于 ， ，
從而知正弦定理的基本作用為：
①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如 ；
②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值。
一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。
[例題分析]:
例1．在 中，已知 ， ， cm，解三角形。
解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， ；
根據(jù)正弦定理， ；
根據(jù)正弦定理，
評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。
例2．在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精確到 ，邊長精確到1cm）。
解：根據(jù)正弦定理，
因為 ＜ ＜ ，所以 ，或
⑴ 當 時， ，
⑵ 當 時， ，
評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。
[隨堂練習]第47頁練習1、2題。
例3．已知 ABC中， A ， ,求
分析：可通過設一參數(shù)k(k>0)使 ,
證明出
解：設 則有 ， ，
從而 = =
又 ，所以 =2
評述： ABC中，等式 恒成立。
[補充練習]已知 ABC中， ，求 （答案：1：2：3）
[課堂小結(jié)]（由學生歸納總結(jié)）
（1）定理的表示形式： ；
或 ， ，
（2）正弦定理的應用范圍：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；
②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。
（五）:①課后思考題：在 ABC中， ，這個k與 ABC有什么關系？
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