-寶安中學(xué)高二年級(jí)理科數(shù)學(xué)第一屆 “王子杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題命題：許世清 審題：周曉蘭 蔡毅 陳少晗本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷為1-8題，共40分，第Ⅱ卷為9-17題，共80分。全卷共計(jì)120分�？荚嚂r(shí)間為90分鐘。注意事項(xiàng)：1、答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題紙上。2、第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答題紙上。3、考試結(jié)束，監(jiān)考人員將答題紙收回。 第Ⅰ卷 （本卷共計(jì)40 分）一．選擇題：（每小題只有一個(gè)選項(xiàng)，每小題5分，共計(jì)40分）1.命題“”的逆否命題是或則 B若且則C 若則或 D若則且2.等比數(shù)列中，已知，，則=A 1 B 2 C 3 D 43．條件，條件，則的A、充要條件 B、既不充分也不必要條件 C、必要不充分條件 D、充分不必要條件4.在△ABC中，已知,那么△ABC一定是 A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形 5.設(shè)雙曲線以橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn),其準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn),則雙曲線的漸近線的斜率為 A. B. C. D. B. C. D.7.橢圓的準(zhǔn)線方程是A B C D 8.已知，，且，，，則的最小值為A、 B、 C、 D、第Ⅱ卷 （本卷共計(jì)80分）二、填空題：（每小題5分，共計(jì)20分）9.在等差數(shù)列中，公差＝1，＝8，則＝　 10.若直線l過拋物線(a>0)的焦點(diǎn)，并且與y軸垂直，若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4，則a=_______的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式”，給出了如下一種解法：解析：由的解集為，得的解集為， 即關(guān)于的不等式的解集為.參考上述解法，若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為 ；12.已知方程表示的曲線是拋物線，則實(shí)數(shù)k的值等于 三、解答題：（每題12分，共計(jì)60分）13. 在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知a+b=5，c=，且（1）求角C的大��；（2）求△ABC的面積..定義在上對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。. 設(shè)函數(shù)，對(duì)于正數(shù)數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在等比數(shù)列，使得對(duì)一切正整數(shù)都成立？若存在，請(qǐng)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由..已知點(diǎn)，直線：，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知圓過定點(diǎn)，圓心在軌跡上運(yùn)動(dòng)，且圓與軸交于、兩點(diǎn)，設(shè)，，求的最大值． 11. 12. 解答題：13. 解：∵A+B+C=180° 由 …………1分 ∴ ………………3分 整理，得 …………4分 解得： ……5分 ∵ ∴C=60° ………………6分（2）由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－2ab …………7分∴=25－3ab 10分∴ …………12分 【解】 (1)由根與系數(shù)的關(guān)系解得：a＝3.所以不等式變?yōu)椋?x2－x－3>0，解集為： (－∞， －1)， ＋∞.……………………6分 (2)由題意知：x2＋bx＋3－b≥0，，設(shè)，…………11分所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，，故.…………12分15. 解：要使原不等式恒成立，只要恒成立由恒成立得由恒成立故所求a的取值范圍是16. 解：（1）由， ， 得 ① ， ②即 ， ………分即 ，即 ∵＞，∴ ，即數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，……分由①得，，解得，因此 ，數(shù)列的通項(xiàng)公式為. ………分（2）假設(shè)存在等比數(shù)列，使得對(duì)一切正整數(shù)都有 ③ 當(dāng)時(shí)，有 ④③－④，得 ， 由得， ………………1分又滿足條件，因此，存在等比數(shù)列，使得對(duì)一切正整數(shù)都成立. …………………分 （1）解：設(shè)，則，∵，∴． 即，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程． （2）解：設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，則． ①圓的半徑為． 圓的方程為．令，則，整理得，． ②由①、②解得，． 不妨設(shè)，，∴，．∴ ， ③ 當(dāng)時(shí)，由③得，． 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．當(dāng)時(shí)，由③得，． 故當(dāng)時(shí)，的最大值為． 1QPF0yx廣東省寶安中學(xué)高二第一屆“王子杯”競(jìng)賽數(shù)學(xué)（理）試題
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