1．掌握求已知曲線的軸對(duì)稱曲線和中心對(duì)稱曲線方程的方法：結(jié)合曲線對(duì)稱的定義，用求曲線方程的方法求對(duì)稱曲線的方程(歸結(jié)為點(diǎn)的對(duì)稱)
2．掌握判斷曲線關(guān)于幾種特殊直線對(duì)稱的方法:①y=x; ②x軸;③y軸
知識(shí)點(diǎn)歸納
1 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的對(duì)稱中心恰是這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，因此中心對(duì)稱的問(wèn)題是線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用問(wèn)題
設(shè)P（x0，y0），對(duì)稱中心為A（a，b），則P關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為P′（2a－x0，2b－y0）
2 點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱問(wèn)題
由軸對(duì)稱定義知，對(duì)稱軸即為兩對(duì)稱點(diǎn)連線的“垂直平分線” 利用“垂直”“平分”這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)頂點(diǎn)的坐標(biāo) 一般情形如下：
設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)為P′（x′，y′），則有
，可求出x′、y′
特殊地，點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為P′（2a－x0，y0）；點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)為P′（x0，2b－y0）
3 曲線關(guān)于點(diǎn)、曲線關(guān)于直線的中心或軸對(duì)稱問(wèn)題：一般是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的中心對(duì)稱或軸對(duì)稱（這里既可選特殊點(diǎn)，也可選任意點(diǎn)實(shí)施轉(zhuǎn)化） 一般結(jié)論如下：
（1）曲線f（x，y）=0關(guān)于已知點(diǎn)A（a，b）的對(duì)稱曲線的方程是f（2a－x，2b－y）=0
（2）曲線f（x，y）=0關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱曲線的求法：
設(shè)曲線f（x，y）=0上任意一點(diǎn)為P（x0，y0），P點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)為P′（y，x），則由（2）知，P與P′的坐標(biāo)滿足
從中解出x0、y0，
代入已知曲線f（x，y）=0，應(yīng)有f（x0，y0）=0 利用坐標(biāo)代換法就可求出曲線f（x，y）=0關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱曲線方程
4 兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的常見(jiàn)結(jié)論：
（1）點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（x，－y）；
（2）點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（－x，y）；
（3）點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（－x，－y）；
（4）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x－y=0的對(duì)稱點(diǎn)為（y，x）；
（5）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)為（－y，－x）
題型講解
例1 求直線a：2x+y－4=0關(guān)于直線l：3x+4y－1=0對(duì)稱的直線b的方程
分析：由平面幾何知識(shí)可知若直線a、b關(guān)于直線l對(duì)稱，它們具有下列幾何性質(zhì)：（1）若a、b相交，則l是a、b交角的平分線；（2）若點(diǎn)A在直線a上，那么A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B一定在直線b上，這時(shí)AB⊥l，并且AB的中點(diǎn)D在l上；（3）a以l為軸旋轉(zhuǎn)180°，一定與b重合 使用這些性質(zhì)，可以找出直線b的方程 解此題的方法很多，總的來(lái)說(shuō)有兩類：一類是找出確定直線方程的兩個(gè)條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本�方程的形式，求出直線方程；另一類是直接由軌跡求方程
解：由 ，解得a與l的交點(diǎn)E（3，－2），E點(diǎn)也在b上
方法一：設(shè)直線b的斜率為k，
又知直線a的斜率為－2，直線l的斜率為－
則 =
解得k=－
代入點(diǎn)斜式得直線b的方程為
y－（－2）=－ （x－3），
即2x+11y+16=0
方法二：在直線a：2x+y－4=0上找一點(diǎn)A（2，0），設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x0，y0），
由 解得B（ ，－ ）
由兩點(diǎn)式得直線b的方程為
= ，
即2x+11y+16=0
方法三：設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）關(guān)于l：3x+4y－1=0的對(duì)稱點(diǎn)Q（x0，y0），則有
解得x0= ，y0=
Q（x0，y0）在直線a：2x+y－4=0上，
則2× + －4=0，
化簡(jiǎn)得2x+11y+16=0是所求直線b的方程
方法四：設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y），直線a上的點(diǎn)Q（x0，4－2x0），且P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l：3x+4y－1=0對(duì)稱，則有
消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）
點(diǎn)評(píng)：本題體現(xiàn)了求直線方程的兩種不同的途徑，方法一與方法二，除了點(diǎn)E外，分別找出確定直線位置的另一個(gè)條件：斜率或另一個(gè)點(diǎn)，然后用點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式求出方程，方法三與方法四是利用直線上動(dòng)點(diǎn)的幾何性質(zhì)，直接由軌跡求方程，在使用這種方法時(shí)，要注意區(qū)分動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)及參數(shù)，本題綜合性較強(qiáng)，只有對(duì)坐標(biāo)法有較深刻的理解，同時(shí)有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力才能較好地完成此題
例2 光線從點(diǎn)A（－3，4）發(fā)出，經(jīng)過(guò)x軸反射，再經(jīng)過(guò)y軸反射，光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（－2，6），求射入y軸后的反射線的方程
分析：由物理中光學(xué)知識(shí)知，入射線和反射線關(guān)于法線對(duì)稱
解：∵A（－3，4）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1（－3，－4）在經(jīng)x軸反射的光線上，
同樣A1（－3，－4）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A2（3，－4）在經(jīng)過(guò)射入y軸的反射線上，
∴k = =－2
故所求直線方程為y－6=－2（x+2），
即2x+y－2=0
點(diǎn)評(píng)：注意知識(shí)間的相互聯(lián)系及學(xué)科間的相互滲透
例3 已知點(diǎn)M（3，5），在直線l：x－2y+2=0和y軸上各找一點(diǎn)P和Q，使△MPQ的周長(zhǎng)最小
分析：如下圖，作點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M1，再作點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M2，連結(jié)MM1、MM2，連線MM1、MM2與l及y軸交于P與Q兩點(diǎn)，由軸對(duì)稱及平面幾何知識(shí)，可知這樣得到的△MPQ的周長(zhǎng)最小
解：由點(diǎn)M（3，5）及直線l，可求得點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)M1（5，1） 同樣容易求得點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M2（－3，5）
據(jù)M1及M2兩點(diǎn)可得到直線M1M2的方程為x+2y－7=0
令x=0，得到M1M2與y軸的交點(diǎn)Q（0， ）
解方程組 得交點(diǎn)P（ ， ）
故點(diǎn)P（ ， ）、Q（0， ）即為所求
點(diǎn)評(píng)：恰當(dāng)?shù)乩闷矫鎺缀蔚闹R(shí)對(duì)解題能起到事半功倍的效果
例4 若拋物線 上總存在關(guān)于直線 的異于交點(diǎn)的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，試求實(shí)數(shù) 的取值范圍
解法一：（對(duì)稱曲線相交法）
曲線 關(guān)于直線 對(duì)稱的曲線方程為
如果拋物線 上總存在關(guān)于直線 對(duì)稱的兩點(diǎn)，則兩曲線
與 必有不在直線 上的兩個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖所示)，從而可由：
∵
∴
代入 得 有兩個(gè)不同的解，
∴
解法二：（對(duì)稱點(diǎn)法）
設(shè)拋物線 上存在異于于直線 的交點(diǎn)的點(diǎn) ，且 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn) 也在拋物線 上
則
必有兩組解
(1)-(2)得
必有兩個(gè)不同解
∵ ，
∴ 有解
從而有 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解
即 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解
∴
∵ ，
∴
解法三：（點(diǎn)差法）
設(shè)拋物線 上以 為端點(diǎn)的弦關(guān)于直線 對(duì)稱，且以 為中點(diǎn)是拋物線 （即 ）內(nèi)的點(diǎn)
從而有
由
(1)-(2)得
∴
由
從而有
例5 試確定 的取值范圍，使得橢圓 上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱
解：設(shè)橢圓 上以 為端點(diǎn)的弦關(guān)于直線 對(duì)稱，且以 為中點(diǎn)是橢圓 內(nèi)的點(diǎn)
從而有
由
(1)-(2)得
∴
由
由 在直線 上
從而有
小結(jié)：
1 對(duì)稱問(wèn)題的核心是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱和點(diǎn)關(guān)于直線的軸對(duì)稱，要充分利用轉(zhuǎn)化的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這兩類對(duì)稱中的一種加以處理
2 許多問(wèn)題都隱含著對(duì)稱性，要注意挖掘、充分利用對(duì)稱變換來(lái)解決，如角平分線、線段中垂線、光線反射等
3 對(duì)稱問(wèn)題除了用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率關(guān)系來(lái)求以外，還可以用求軌跡的思想??代入法來(lái)求解
學(xué)生練習(xí)
1 已知點(diǎn)M（a，b）與N關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
A （a，b） B （b，a）C （－a，－b） D （－b，－a）
解析：N（a，－b），P（－a，－b），則Q（b，a）．
答案：B
2 曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對(duì)稱的曲線方程是
A y2=8－4x B y2=4x－8 C y2=16－4x D y2=4x－16
解：設(shè)曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對(duì)稱的曲線為C，在曲線C上任取一點(diǎn)P（x，y），則P（x，y）關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)為Q（4－x，y） 因?yàn)镼（4－x，y）在曲線y2=4x上，所以y2=4（4－x），即y2=16－4x
答案：C
3 已知直線l1：x+my+5=0和直線l2：x+ny+p=0，則l1、l2關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是
A = B p=－5 C m=－n且p=－5 D =－ 且p=－5
解析：直線l1關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程為（－x）+my+5=0，即x－my－5=0，與l2比較，∴m=－n且p=－5 反之亦驗(yàn)證成立
答案：C
4 點(diǎn)A（4，5）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B（－2，7），則l的方程為______
解析：對(duì)稱軸是以兩對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線
答案：3x－y+3=0
5 設(shè)直線x+4y－5=0的傾斜角為θ，則它關(guān)于直線y－3=0對(duì)稱的直線的傾斜角是____________
答案：π－θ
6．一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓與圓x2+y2+8x─4y=0關(guān)于直線l對(duì)稱,則直線l的方程是
答案：2x─y+5=0
7．直線y=3x─4關(guān)于點(diǎn)P(2,─1)對(duì)稱的直線l的方程是
答案：3x─y─10=0 用求方程的方法或幾何性質(zhì)(平行)均可
8．方程x2+y2+2ax─2ay=0所表示的圓的對(duì)稱軸方程為
答案：x+y=0提示：點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(─y,─x)關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱
9．如果直線ax─y+3=0與直線3x─y─b=0關(guān)于直線x─y+1=0對(duì)稱，則a= , b=
答案：1/3, 5 說(shuō)明：掌握k=±1時(shí)，求對(duì)稱點(diǎn)的方法
10 已知圓C與圓 關(guān)于直線y=－x對(duì)稱，則圓C的方程為
A （x+1）2+y2=1 B x2+y2=1 C x2+（y+1）2=1 D x2+（y－1）2=1
解：由M（x，y）關(guān)于y=－x的對(duì)稱點(diǎn)為（－y，－x），即得x2+（y+1）2=1
答案：C
11 與直線x+2y－1=0關(guān)于點(diǎn)（1，－1）對(duì)稱的直線方程為
A 2x－y－5=0 B x+2y－3=0 C x+2y+3=0 D 2x－y－1=0
解：將x+2y－1=0中的x、y分別代以2－x，－2－y，得（2－x）+2（－2－y）－1=0，即x+2y+3=0 故選C
答案：C
12 兩直線y= x和x=1關(guān)于直線l對(duì)稱，直線l的方程是____________
解：l上的點(diǎn)為到兩直線y= x與x=1距離相等的點(diǎn)的集合，即 =｜x－1｜，化簡(jiǎn)得x+ y－2=0或3x－ y－2=0
答案：x+ y－2=0或3x－ y－2=0
13 直線2x－y－4=0上有一點(diǎn)P，它與兩定點(diǎn)A（4，－1）、B（3，4）的距離之差最大，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是____________
解：易知A（4，－1）、B（3，4）在直線l：2x－y－4=0的兩側(cè) 作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1（0，1），當(dāng)A1、B、P共線時(shí)距離之差最大
答案：（5，6）
14 已知曲線C：y=─x2+x+2關(guān)于點(diǎn)(a,2a)對(duì)稱的曲線是C/,若C與C/有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),求a的取值范圍
解：曲線C/的方程為y=x2+(1─4a)x+(4a2+2a─2),聯(lián)立C與C/的方程并消去y得：x2─2ax+2a2+a─2=0, 由Δ>0得：─2
解：圓C：(x─2)2+(y─2)2=1關(guān)于x軸的對(duì)稱圓C/的方程是(x─2)2+(y+2)2=1 設(shè)光線 所在的直線方程是y─3=k(x+3),依題意,它是圓C/的切線，從而點(diǎn)C/到直線 的距離為1,∴ =1,解得：k=─3/4或k=─4/3, ∴ 的方程是3x+4y─3=0或4x+3y+3=0,同理求過(guò)點(diǎn)A/(─3,─3)的圓C的切線方程,得m的方程為3x─4y─3=0或4x─3y+3=0
16．已知兩曲線y=─x2+4x─2與y2=x關(guān)于直線 對(duì)稱,求直線 的方程
解：拋物線y=─x2+4x─2的頂點(diǎn)坐標(biāo)P1(2,2),拋物線y2=x的頂點(diǎn)為Q(0,0),
∴直線 就是PQ的垂直平分線x+y─2=0
17 求函數(shù)y= + 的最小值
解：因?yàn)閥= + ，
所以函數(shù)y是x軸上的點(diǎn)P（x，0）與兩定點(diǎn)A（0，3）、B（4，3）距離之和 y的最小值就是PA+PB的最小值 由平面幾何知識(shí)可知，若A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A ′（0，－3），則PA+PB的最小值等于A′B，
即 =4 所以ymin=4
18 若拋物線y=2x2上的兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱且x1x2=－ ，求m的值
解：設(shè)直線AB的方程為y=－x+b，代入y=2x2得2x2+x－b=0，
∴x1+x2=－ ，x1x2= =－ ∴b=1，即AB的方程為y=－x+1
設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），則x0= =－ ，代入y0=－x0+1，
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoer/70950.html
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