知識(shí)梳理
2. 解斜三角形的應(yīng)用問(wèn)題，通常需根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得出所要求的量，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解，其中建立數(shù)學(xué)模型的方法是我們的歸宿，用數(shù)學(xué)手段來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目的。
3. 解題應(yīng)根據(jù)已知合理選擇正余弦定理，要求算法簡(jiǎn)潔、算式工整、計(jì)算準(zhǔn)確。
典例剖析
題型一 正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用
例1如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值
解：設(shè)∠POB＝θ，四邊形面積為ｙ，則在△POC中，由余弦定理得：?
PC2＝OP2＋OC2－2OP?OCcosθ＝5－4cosθ?
∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝ ＋ (5－4cosθ)
＝2sin(θ－ )＋
∴當(dāng)θ－ ＝ 即θ＝ 時(shí)，ｙmax＝2＋
評(píng)述：本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見(jiàn)正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認(rèn)識(shí)到這兩個(gè)定理的重要性 另外，在求三角函數(shù)最值時(shí)，涉及到兩角和正弦公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構(gòu)造及逆用，應(yīng)予以重視 ?
題型二 正、余弦定理在函數(shù)中的應(yīng)用
例2 如圖，有兩條相交成 角的直線 、 ，交點(diǎn)是 ，甲、乙分別在 、 上，
起初甲離 點(diǎn) 千米，乙離 點(diǎn) 千米，后來(lái)兩人同時(shí)用每小時(shí) 千米的速度，甲沿 方向，乙沿 方向步行，
（1）起初，兩人的距離是多少？
（2）用包含 的式子表示 小時(shí)后兩人的距離；
（3）什么時(shí)候兩人的距離最短？
解：（1）設(shè)甲、乙兩人起初的位置是 、 ，
則
，
∴起初，兩人的距離是 ．
（2）設(shè)甲、乙兩人 小時(shí)后的位置分別是 ，
則 ， ，
當(dāng) 時(shí)， ；
當(dāng) 時(shí)， ，
所以， ．
（3） ，
∴當(dāng) 時(shí)，即在第 分鐘末， 最短。
答：在第 分鐘末，兩人的距離最短。
評(píng)析：（2）中，分0 t 和t> 兩種情況進(jìn)行討論，但對(duì)兩種情形的結(jié)果進(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn)，目標(biāo)函數(shù)有統(tǒng)一的表達(dá)式，從而（3）中求最值是對(duì)這個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式進(jìn)行運(yùn)算的。
備選題 正、余弦定理的綜合應(yīng)用
例3 如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過(guò)△ABC的中心G，設(shè)?MGA＝?（ ）
（1）試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）；表示為?的函數(shù)，
（2）求y＝ 的最大值與最小值。
解析：（1）因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，
所以 AG＝ ，?MAG＝ ，由正弦定理
得 ，
則S1＝ GM?GA?sin?＝ 。同理可求得S2＝ 。
（2）y＝ ＝ ＝72（3＋cot2?）
因?yàn)?，
所以當(dāng)?＝ 或?＝ 時(shí)，y取得最大值ymax＝240，當(dāng)?＝ 時(shí)，y取得最小值ymin＝216。
點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個(gè)典型的范例。通過(guò)引入角度，將圖形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語(yǔ)言，再通過(guò)局部的換元，又將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù) ，這些解題思維的拐點(diǎn)。
點(diǎn)擊雙基
1．在△ABC中， ，則△ABC 的面積為（ ）
A. B. C. D. 1
解：S = =4sin10 sin50 sin70 =4cos20 cos40 cos80
= = = =
答案：C
2.如圖所示:在一幢20m高的樓頂A測(cè)得對(duì)面一塔頂C的仰角為 60 ,塔基D的俯角為 45 ,則這座塔的高是( )
A. 20 m B. 10 m C. (10+ 10 )m D. (20+20 )m
解：可知 BAD=45 ,AE=20, AB=20, BAC=60 ,
CB=ABtan60 =20 所以這座塔的高CD=(20+20 )m
答案：D
3．在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個(gè)解的是 （ ）
A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a(chǎn) = 60，c = 48，B = 100°
C．a(chǎn) = 7，b = 5，A = 80° D．a(chǎn) = 14，b = 16，A = 45°
解：A,B可根據(jù)余弦定理求解，只有一解，選項(xiàng)C中，A為銳角，且a>b, 只有一解.
選項(xiàng)D中 所以有兩個(gè)解。
答案：D
4. 一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10 海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西600，另一燈塔在船的南偏西750，則這艘船是每小時(shí)航行____。
解：10海里
5．某人站在山頂向下看一列車隊(duì)向山腳駛來(lái)，他看見(jiàn)第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見(jiàn)第二輛車與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離 與第二輛車與第三輛車的距離 之間的關(guān)系為 （ ）
A. B.
C. D. 不能確定大小
解：依題意知BC= ,CD= , BAC= CAD.
△ABC中 ,
△ACD中 ,
BC
課后作業(yè)
1.有一長(zhǎng)為1公里的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則坡底要伸長(zhǎng)（ ）
A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里
答案：A
2.邊長(zhǎng)分別為5，7，8的三角形的最大角與最小角的和是（ ）
A. 90 B. 120 C. 135 D. 150
解：用余弦定理算出中間的角為60 .
答案：B
3. 下列條件中，△ABC是銳角三角形的是（ ）
A.sinA+cosA= B. ? ＞0 C.tanA+tanB+tanC＞0 D.b=3，c=3 ，B=30°
解：由sinA+cosA= 得2sinAcosA=－ ＜0，∴A為鈍角.
由 ? ＞0，得 ? ＜0，∴cos〈 ， 〉＜0.∴B為鈍角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）?（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角.
由 = ，得sinC= ，∴C= 或 .
答案：C
4、已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1，3，a，則a的范圍是（ ）
A． B． C． D．
解：
5.某市在“舊城改造”中計(jì)劃內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a元，則購(gòu)買這種草皮至少要（ ）
A．450a元B．225a元 C．150a元 D. 300a元
解：S= =150 購(gòu)買這種草皮至少要 150a元
答案：C
6.甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲，乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是（ ）
A． 分鐘B． 分鐘C．21.5分鐘D．2.15分鐘
解：設(shè)航行時(shí)間為t小時(shí)，則兩船相距
=
t=- 小時(shí)= 分鐘
答案：A
7.飛機(jī)沿水平方向飛行，在A處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C得俯角為30°，向前飛行10000米，到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得目標(biāo)C的俯角為60°，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的水平距離為（ ）
A．5000米B．5000 米C．4000米D． 米
解： =30°, DBC=60°,AB=1000. CB=10000.BD=5000
答案：A
8 如圖，△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A、B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角為
A 75°B 60°C 50°D 45°
解：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽(yáng)光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長(zhǎng)DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則∠CFD是遮陽(yáng)棚與地面所成的角，設(shè)為α 要使S△ABD最大，只需DF最大
在△CFD中， =
∴DF=
∵CF為定值，∴當(dāng)α=50°時(shí)，DF最大
答案：C
二．填空題
9.某船在海面A處測(cè)得燈塔C與A相距 海里，且在北偏東 方向；測(cè)得燈塔B與A相距 海里，且在北偏西 方向。船由 向正北方向航行到D處，測(cè)得燈塔B在南偏西 方向。這時(shí)燈塔C與D相距 海里
答案：
10.在△ABC中，已知 60°，如果△ABC 兩組解，則x的取值范圍是
解：asinB
11．一船以每小時(shí)15km的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東 ，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東 ，這時(shí)船與燈塔的距離為
km
答案：
三．解答題
12.某人在M汽車站的北偏西20 的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40 。開(kāi)始時(shí)，汽車到A的距離為31千米，汽車前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米。問(wèn)汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車站？
解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處。在 ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC= = ,
則sin C =1- cos C = ,
sinC = ,
所以 sin MAC = sin（120 -C）= sin120 cosC - cos120 sinC =
在 MAC中，由正弦定理得 MC = = =35
從而有MB= MC-BC=15
答：汽車還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車站。
13．如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知 ， ，于A處測(cè)得水深 ，于B處測(cè)得水深 ，于C處測(cè)得水深 ，求∠DEF的余弦值。
解：作 交BE于N，交CF于M．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
，
，
．
在 中，由余弦定理，
14. 在 中，角A、B、C的對(duì)邊分別為 、 、 ，
，又 的面積為 .（1）求角C的大�。唬�2）求 的值.
解：（1）由已知得 ，所以 ， ；
（2）因?yàn)?，所以 ，
又因?yàn)?，所以
所以 ， = = =5
●思悟小結(jié)
1.三角形中的邊角問(wèn)題的求解，或三角形的形狀的判定，及其與三角形有關(guān)的問(wèn)題的求解，通常是利用正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角恒等變形去解決。
2. 判斷三角形的形狀，一般是從題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)正弦定理、余弦定理及三角變換將已知的邊角關(guān)系全轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或全轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，導(dǎo)出邊或角的某種特殊關(guān)系，然后判定三角形的形狀。注意變換過(guò)程中等式兩邊的公因式不要約掉，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能。
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoer/71348.html
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