選修2-2 1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
一、
1．已知函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，下列命題中，正確的是(　　)
A．導(dǎo)數(shù)為零的點一定是極值點
B．如果在點x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極小值
C．如果在點x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值
D．如果在點x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極大值
[答案]　C
[解析]　導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的極值點，故A錯；由極值的定義可知C正確，故應(yīng)選C.
2．函數(shù)y＝1＋3x－x3有(　　)
A．極小值－2，極大值2
B．極小值－2，極大值3
C．極小值－1，極大值1
D．極小值－1，極大值3
[答案]　D
[解析]　y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)
令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1
當(dāng)x<－1時，y′<0，函數(shù)y＝1＋3x－x3是減函數(shù)，
當(dāng)－10，函數(shù)y＝1＋3x－x3是增函數(shù)，
當(dāng)x>1時，y′<0，函數(shù)y＝1＋3x－x3是減函數(shù)，
∴當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極小值，y極�。剑�1.
當(dāng)x＝1時，函數(shù)有極大值，y極大＝3.
3．設(shè)x0為f(x)的極值點，則下列說法正確的是(　　)
A．必有f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在
D．f′(x0)存在但可能不為0
[答案]　C
[解析]　如：y＝x，在x＝0時取得極小值，但f′(0)不存在．
4．對于可導(dǎo)函數(shù)，有一點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號是這一點為極值的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
[答案]　C
[解析]　只有這一點導(dǎo)數(shù)值為0，且兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號才是充要條件．
5．對于函數(shù)f(x)＝x3－3x2，給出命題：
①f(x)是增函數(shù)，無極值；
②f(x)是減函數(shù)，無極值；
③f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，0)，(2，＋∞)，遞減區(qū)間為(0,2)；
④f(0)＝0是極大值，f(2)＝－4是極小值．
其中正確的命題有(　　)
A．1個　　　　　　　　B．2個
C．3個 D．4個
[答案]　B
[解析]　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得06．函數(shù)f(x)＝x＋1x的極值情況是(　　)
A．當(dāng)x＝1時，極小值為2，但無極大值
B．當(dāng)x＝－1時，極大值為－2，但無極小值
C．當(dāng)x＝－1時，極小值為－2；當(dāng)x＝1時，極大值為2
D．當(dāng)x＝－1時，極大值為－2；當(dāng)x＝1時，極小值為2
[答案]　D
[解析]　f′(x)＝1－1x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，
函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1,0)和(0,1)上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＝－1時，取極大值－2，當(dāng)x＝1時，取極小值2.
7．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(　　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
[答案]　A
[解析]　由f′(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，先增，再減，再增，最后再減，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極小值點．
8．已知函數(shù)y＝x－ln(1＋x2)，則函數(shù)y的極值情況是(　　)
A．有極小值
B．有極大值
C．既有極大值又有極小值
D．無極值
[答案]　D
[解析]　∵y′＝1－11＋x2(x2＋1)′
＝1－2xx2＋1＝(x－1)2x2＋1
令y′＝0得x＝1，當(dāng)x>1時，y′>0，
當(dāng)x<1時，y′>0，
∴函數(shù)無極值，故應(yīng)選D.
9．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則函數(shù)f(x)的極值是(　　)
A．極大值為427，極小值為0
B．極大值為0，極小值為427
C．極大值為0，極小值為－427
D．極大值為－427，極小值為0
[答案]　A
[解析]　由題意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①
f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②
由①②得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1
＝(3x－1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝13或x＝1，極大值f13＝427，極小值f(1)＝0.
10．下列函數(shù)中，x＝0是極值點的是(　　)
A．y＝－x3 B．y＝cos2x
C．y＝tanx－x D．y＝1x
[答案]　B
[解析]　y＝cos2x＝1＋cos2x2，y′＝－sin2x，
x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右負(fù)，
∴x＝0是函數(shù)的極大值點．
二、題
11．函數(shù)y＝2xx2＋1的極大值為______，極小值為______．
[答案]　1 －1
[解析]　y′＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，
令y′>0得－11或x<－1，
∴當(dāng)x＝－1時，取極小值－1，當(dāng)x＝1時，取極大值1.
12．函數(shù)y＝x3－6x＋a的極大值為____________，極小值為____________．
[答案]　a＋42　a－42
[解析]　y′＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，
令y′>0，得x>2或x<－2，
令y′<0，得－2∴當(dāng)x＝－2時取極大值a＋42，
當(dāng)x＝2時取極小值a－42.
13．已知函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1處有極大值，在x＝3處有極小值，則a＝______，b＝________.
[答案]�。�3 －9
[解析]　y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韋達(dá)定理應(yīng)有
14．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象與直線y＝a有相異三個公共點，則a的取值范圍是________．
[答案]　(－2,2)
[解析]　令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，
可得極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，
y＝f(x)的大致圖象如圖
觀察圖象得－2三、解答題
15．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋11.
(1)寫出函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間；
(2)討論函數(shù)f(x)的極大值或極小值，如有試寫出極值．
[解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
x變化時，f′(x)的符號變化情況及f(x)的增減性如下表所示：
x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x)增極大值
f(－1)減極小值
f(3)增
(1)由表可得函數(shù)的遞減區(qū)間為(－1,3)；
(2)由表可得，當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極大值為f(－1)＝16；當(dāng)x＝3時，函數(shù)有極小值為f(3)＝－16.
16．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1處有極值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相應(yīng)的極值．
[解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函數(shù)的極值點，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有
又f(1)＝－1，則有a＋b＋c＝－1，
此時函數(shù)的表達(dá)式為f(x)＝12x3－32x.
∴f′(x)＝32x2－32.
令f′(x)＝0，得x＝±1.
當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)變化情況如下表：
x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x) ?極大
值1 ?極小
值－1 ?
由上表可以看出，當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極大值1；當(dāng)x＝1時，函數(shù)有極小值－1.
17．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值．
(1)討論f(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；
(2)過點A(0,16)作曲線y＝f(x)的切線，求此切線方程．
[解析]　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意，
f′(1)＝f′(－1)＝0，即
解得a＝1，b＝0.
∴f(x)＝x3－3x，
f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，則f′(x)＞0，故
f(x)在(－∞，－1)上是增函數(shù)，
f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．
若x∈(－1,1)，則f′(x)＜0，故
f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)．
∴f(－1)＝2是極大值；f(1)＝－2是極小值．
(2)曲線方程為y＝x3－3x.點A(0,16)不在曲線上．
設(shè)切點為M(x0，y0)，則點M的坐標(biāo)滿足y0＝x30－3x0.
∵f′(x0)＝3(x20－1)，故切線的方程為
y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．
注意到點A(0,16)在切線上，有
16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)．
化簡得x30＝－8，解得x0＝－2.
∴切點為M(－2，－2)，
切線方程為9x－y＋16＝0.
18．(2010?北京文，18)設(shè)函數(shù)f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的兩個根分別為1,4.
(1)當(dāng)a＝3且曲線y＝f(x)過原點時，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點，求a的取值范圍．
[解析]　本題考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用．
由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c
∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩根為1,4.
(1)當(dāng)a＝3時，由(*)式得 ，
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲線y＝f(x)過原點，∴d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點”等價于“f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒成立”
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)
解 得a∈[1,9]，
即a的取值范圍[1,9]．


本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoer/72905.html

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