1．設變量x、y滿足約束條件x－y≥0，x＋y≤1，x＋2y≥1，則目標函數(shù)z＝5x＋y的最大值為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：可行域如下圖，
由x＋2y＝1，x＋y＝1解得最優(yōu)解為A(1,0)．
∴zmax＝5，故選D.
答案：D
2．設集合A＝{(x，y)x，y,1－x－y是三角形的三邊長}，則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是( )
解析：∵x，y,1－x－y是三角形的三邊長，
∴A是由不等式組x＋y>12，x<12，y<12確定的．
不等式x＋y>12表示直線x＋y－12＝0的上方部分點的集合，x<12表示直線x－12＝0的左側部分點的集合，y<12表示直線y－12＝0的下側部分點的集合，故選A.
答案：A
3．在△ABC中，三頂點A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，點P(x，y)在△ABC內(nèi)部及邊界運動，則z＝x－y的最大值為( )
A．1 B．－3
C．－1 D．3
解析：點P在△ABC內(nèi)部及其邊界運動，可行域如下圖所示．在陰影部分交點C(1,0)處，目標函數(shù)z＝x－y取得最大值，最大值為1，故選A.
答案：A
4．給出下列四個命題：
①對于在直線Ax＋By＋C＝0同一側的所有點(x，y)，實數(shù)Ax＋By＋C的符號相同；
②不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示平面點集的交集；
③線性約束條件只能用一次不等式來表示，而不能用一次方程表示；
④在線性規(guī)劃問題中，把使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解都叫作該問題的最優(yōu)解．
其中正確的命題是( )
A．①③④ B．①②④
C．①②③ D．②③④
解析：根據(jù)線性規(guī)劃有關知識可知①②④正確，故選B.
答案：B
5．在直角坐標系xOy中，已知△AOB三邊所在的直線的方程分別是x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，則△AOB內(nèi)部和邊上整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)的總數(shù)是( )
A．95個 B．91個
C．88個 D．75個
解析：由題可知，可行域如下圖所示，在△AOB內(nèi)部和邊上整數(shù)點的總數(shù)是：11＋10＋9＋9＋8＋7＋7＋6＋5＋5＋4＋3＋3＋2＋1＋1＝91(個)，故選B.
答案：B
6．已知變量x、y滿足約束條件x－y＋2≤0，x≥1，x＋y－7≤0.則yx的取值范圍是( )
A．[95，6]
B．(－∞，95]∪[6，＋∞)
C．(－∞，3)∪[6，＋∞)
D．[3,6]
解析：畫出可行域，由yx的幾何意義知，最優(yōu)解為A(52，92)，B(1,6)，而kOA＝95，kOB＝6，∴yx的范圍為[95，6]，故選A.
答案：A
7．(2009?山東卷)設x，y滿足約束條件3x－y－6≤0，x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，若目標函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為12，則2a＋3b的最小值為( )
A.256 B.83
C.113 D．4
解析：點(x，y)所滿足的可行域如圖中陰影部分所示，根據(jù)目標函數(shù)所表示的直線的斜率是負值，可知目標函數(shù)只有在點A處取得最大值，故實數(shù)a，b滿足4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，故2a＋3b＝16(2a＋3b)(2a＋3b)＝16(13＋6ba＋6ab)≥16(13＋12)＝256，當且僅當a＝b時取等號．
答案：A
8．如右圖所示，目標函數(shù)z＝mx－y的可行域為四邊形OACD(含邊界)，若(1，85)是唯一的最優(yōu)解，則實數(shù)m的范圍是( )
A．[－25，＋∞)∪(－∞，－85]
B．(－∞，－25)
C．(－85，－25)
D．[－85，＋∞)
解析：令z＝mx－y＝0，則目標函數(shù)y＝mx的斜率為m.如圖所示，kAC＝851－2＝－85，kCD＝2－850－1＝－25，由題意知點(1，85)是唯一最優(yōu)解，所以推得實數(shù)m的范圍是－85
9．在平面直角坐標系xOy中，已知平面區(qū)域A＝{(x，y)x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B＝{(x＋y，x－y)(x，y)∈A}的面積為( )
A．2 B．1
C.12 D.14
解析：令x＋y＝s，x－y＝t，由題意可得平面區(qū)域B＝{(s，t)s≤1，s＋t≥0，s－t≥0}，平面區(qū)域如圖所示，S△AOB＝12×2×1＝1，故選B.
答案：B
10．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，則滿足約束條件f?x?＋f?y?≤0，x－y≥0，x＋y≥2的點(x，y)所形成的區(qū)域的面積為( )
A．4π B．2π
C.π2 D．π
解析：不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，
陰影面積是圓(x－1)2＋(y－1)2＝2面積的14，即π2，故選C.
答案：C
二、題
11．設變量x，y滿足約束條件x－y＋3≥0，x＋y≥0，－2≤x≤3，則目標函數(shù)2x＋y的最小值為________
解析：z＝2x＋y，畫出可行域如下圖．
最優(yōu)解為M(－32，32)，zmin＝－32，故填－32.
答案：－32
12．設變量x，y滿足條件5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≤3.則目標函數(shù)z＝3x＋5y的最大值是________，最小值是________．
解析：不等式組的可行域為下圖中陰影部分，
作出直線3x＋5y＝0.
解y＝x＋1，x－5y＝3得(－2，－1)，所以zmin＝－11；
解y＝x＋1，5x＋3y＝15得(32，52)，所以zmax＝17.
答案：17；－11
13．可行域D滿足x－y＋1≥0，x＋y－4≤0，x≥0，y≥0.可行域E滿足0≤x≤4，0≤y≤52，則D、E對應的點集間的關系是________．
解析：根據(jù)題意可得D、E的可行域如下圖所示．
由x－y＋1＝0，x＋y－4＝0求得P(32，52)，∴D?E.
答案：D?E
14．設D是不等式組x＋2y≤10，2x＋y≥3，0≤x≤4，y≥1表示的平面區(qū)域，則D中的點P(x，y)到直線x＋y＝10的距離的最大值是________．
解析：畫出x＋2y≤10，2x＋y≥3，0≤x≤4，y≥1表示的平面區(qū)域如下圖所示，
則D內(nèi)的點到直線x＋y＝10的最大距離為
d＝1＋1－102＝42.
答案：42
三、解答題
15．已知x，y滿足3x＋8y＋15≥0，5x＋3y－6≤0，2x－5y＋10≥0，求z＝x－y的取值范圍．
解析：先畫出約束條件的可行域，如下圖，
由3x＋8y＋15＝0，5x＋3y－6＝0得B(3，－3)，
由3x＋8y＋15＝0，2x－5y＋10＝0得A(－5,0)．
當z為常數(shù)時，－z表示直線z＝x－y在y軸上的截距，如下圖所示，當點(x，y)位于A點時，－z取最大值，∴zmin＝－5－0＝－5；
當點(x，y)位于B點時，－z取最小值，
∴zmax＝3－(－3)＝6.
綜上所述，目標函數(shù)z的取值范圍是[－5,6]．
16．求不等式組3x－2y－2>0，x＋4y＋4>0，2x＋y－6<0的整數(shù)解．
解析：不等式組的可行域如下圖：
由x＋4y＋4＝0，3x－2y－2＝0，解得A(0，－1)；
由x＋4y＋4＝0，2x＋y－6＝0，解得B(4，－2)；
由3x－2y－2＝0，2x＋y－6＝0，解得C(2,2)．
∴整數(shù)解為(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)．
17．已知x，y滿足條件4x＋2y－7≥0，x－2y＋2≥0，3x－y－4≤0，試求z＝x2＋y2＋2x＋4y的取值范圍．
解析：如圖作出約束條件所表示的平面區(qū)域△ABC，易求A(2,2)，B(1，32)，C(32，12)，因為x2＋y2＋2x＋4y＝?x＋1?2＋?y＋2?2－5，又因為方程Z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示的曲線為以點D(－1，－2)為圓心，半徑為Z的圓，所以觀察圖知，當圓過A點時，Z取得最大值5.過D作DE垂直直線BC于E，易知kDE＝12，從而知直線DE的方程為x－2y－3＝0，由x－2y－3＝0，4x＋2y－7＝0?x＝2，y＝－12，即點E的坐標為(2，－12)，顯然點E在線段BC的延長線上，從而知當圓過點C時，Z取得最小值522，故z＝x2＋y2＋2x＋4y的取值范圍為[302，25]．
18．實系數(shù)一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有兩個根，一個根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，另一個根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求：
(1)點(a，b)對應的區(qū)域的面積；
(2)b－2a－1的取值范圍；
(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．
解析：方程x2＋ax＋2b＝0的兩根在區(qū)間(0,1)和(1,2)上的幾何意義分別是：函數(shù)y＝f(x)＝x2＋ax＋2b與x軸的兩個交點的橫坐標分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi)，由此可得不等式組
f?0?>0，f?1?<0，f?2?>0?b>0，a＋2b＋1<0，a＋b＋2>0.由a＋2b＋1＝0，a＋b＋2＝0
解得A(－3,1)．
由a＋b＋2＝0，b＝0.解得B(－2,0)．
由a＋2b＋1＝0，b＝0.解得C(－1,0)．
∴在如圖所示的aOb坐標平面內(nèi)，滿足約束條件的點(a，b)對應的平面區(qū)域為△ABC(不包括邊界)．
(1)△ABC的面積為S△ABC＝12×BC×h＝12(h為A到Oa軸的距離)．
(2)b－2a－1的幾何意義是點(a，b)和點D(1,2)連線的斜率．
∵kAD＝2－11＋3＝14，kCD＝2－01＋1＝1，由圖可知kAD
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