A．(y1＋1)＋(y5＋1)
B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1
C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5
D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)
[答案] C
[解析] i＝15 (yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y(tǒng)1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5，故選C.
2．在求由x＝a，x＝b(a
②n個小曲邊梯形的面積和小于S；
③n個小曲邊梯形的面積和大于S；
④n個小曲邊梯形的面積和與S之間的大小關(guān)系無法確定
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
[答案] A
[解析] n個小曲邊梯形是所給曲邊梯形等距離分割得到的，因此其面積和為S.∴①正確，②③④錯誤，故應(yīng)選A.
3．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的近似值等于( )
A．只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi)
B．只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi＋1)
C．可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均不正確
[答案] C
[解析] 由求曲邊梯形面積的“近似代替”知，C正確，故應(yīng)選C.
4．(2010?惠州高二檢測)求由拋物線y＝2x2與直線x＝0，x＝t(t>0)，y＝0所圍成的曲邊梯形的面積時，將區(qū)間[0，t]等分成n個小區(qū)間，則第i－1個區(qū)間為( )
A.i－1n，in B.in，i＋1n
C.t(i－1)n，tin D.t(i－2)n，t(i－1)n
[答案] D
[解析] 在[0，t]上等間隔插入(n－1)個分點(diǎn)，把區(qū)間[0，t]等分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度均為tn，故第i－1個區(qū)間為t(i－2)n，t(i－1)n，故選D.
5．由直線x＝1，y＝0，x＝0和曲線y＝x3所圍成的曲邊梯形，將區(qū)間4等分，則曲邊梯形面積的近似值(取每個區(qū)間的右端點(diǎn))是( )
A.119 B.111256
C.110270 D.2564
[答案] D
[解析] s＝143＋243＋343＋13×14
＝13＋23＋33＋4344＝2564.
6．在等分區(qū)間的情況下，f(x)＝11＋x2(x∈[0,2])及x軸所圍成的曲邊梯形面積和式的極限形式正確的是( )
A.limn→∞i＝1n[11＋in2?2n]
B.limn→∞i＝1n[11＋2in2?2n]
C.limn→∞i＝1n 11＋i2?1n
D.limn→∞i＝1n[11＋in2?n]
[答案] B
[解析] 將區(qū)間[0,2]進(jìn)行n等分每個區(qū)間長度為2n，故應(yīng)選B.
二、題
7．直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2＋1圍成的曲邊梯形，將區(qū)間[0,2]5等分，按照區(qū)間左端點(diǎn)和右端點(diǎn)估計梯形面積分別為________、________.
[答案] 3.92 5.52
8．已知某物體運(yùn)動的速度為v＝t，t∈[0,10]，若把區(qū)間10等分，取每個小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運(yùn)動的路程近似值為________．
[答案] 55
三、解答題
9．求直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2所圍成曲邊梯形的面積．
[分析] 按分割，近似代替，求和，取極限四個步驟進(jìn)行．
[解析] 將區(qū)間[0,2]分成n個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間為2(i－1)n，2in.
第i個小區(qū)間的面積ΔSi＝f2(t－1)n?2n，
∴Sn＝i＝1nf2(i－1)n?2n
＝2ni＝1n 4(i－1)2n2＝8n3i＝1n (i－1)2
＝8n3[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]
＝8n3?(n－1)n(2n－1)6
＝8(n－1)(2n－1)6n2.
S＝limn→∞Sn＝limn→∞ 8(n－1)(2n－1)6n2＝83，
∴所求曲邊梯形面積為83.
[點(diǎn)評] 注意求平方和時，用到數(shù)列中的一個求和公式.12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)6.不要忘記對Sn求極限．
10．汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動時，經(jīng)過時間t所行駛的路程s＝vt.如果汽車做變速直線運(yùn)動，在時刻t的速度為v(t)＝t2＋2(單位：km/h)，那么它在1≤t≤2(單位：h)這段時間行駛的路程是多少？
[分析] 汽車行駛路程類似曲邊梯形面積，根據(jù)曲邊梯形面積思想，求和后再求極限值．
[解析] 將區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間，第i個小區(qū)間為1＋i－1n，1＋in.
∴Δsi＝f1＋i－1n?1n.
sn＝i＝1nf1＋i－1n?1n
＝1ni＝1n 1＋i－1n2＋2
＝1ni＝1n (i－1)2n2＋2(i－1)n＋3
＝1n3n＋1n2[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n[0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]
＝3＋(n－1)(2n－1)6n2＋n－1n.
s＝limn→∞sn＝limn→∞ 3＋(n－1)(2n－1)6n2＋n－1n＝133.
∴這段時間行駛的路程為133km.
11．求物體自由落體的下落距離：已知自由落體的運(yùn)動速度v＝gt，求在時間區(qū)間[0，t]內(nèi)物體下落的距離．
[分析] 選定區(qū)間→分割→近似代替→求和→取極限
[解析] (1)分割：將時間區(qū)間[0，t]分成n等份．
把時間[0，t]分成n個小區(qū)間i－1nt，itn(i＝1,2，…，n)，
每個小區(qū)間所表示的時間段Δt＝itn－i－1nt＝tn，在各小區(qū)間物體下落的距離記作Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在每個小區(qū)間上以勻速運(yùn)動的路程近似代替變速運(yùn)動的路程．
在i－1nt，itn上任取一時刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝g(i－1)nt近似代替第i個小區(qū)間上的速度，因此在每個小區(qū)間上自由落體Δt＝tn內(nèi)所經(jīng)過的距離可近似表示為Δsi≈gi－1nt?tn(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：sn＝i＝1nΔsi
＝i＝1ngi－1n?t?tn
＝gt2n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝12gt21－1n.
(4)取極限：s＝limn→∞ 12gt21－1n＝12gt2.
12．求由直線x＝1、x＝2、y＝0及曲線y＝1x2圍成的圖形的面積S.
[解析] (1)分割
在區(qū)間[1,2]上等間隔地插入n－1個點(diǎn)，將它等分成n個小區(qū)間：
1，n＋1n，n＋1n，n＋2n，…，n＋n－1n，2，記第i個區(qū)間為n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，其長度為
Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.
分別過上述n－1個分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形(如下圖)，它們的面積記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，則小區(qū)邊梯形面積的和為S＝i＝1nΔSi.
(2)近似代替
記f(x)＝1x2.當(dāng)n很大，即Δx很小時，在區(qū)間n＋i－1n，n＋in上，可以認(rèn)為f(x)＝1x2的值變化很小，近似地等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它等于f(n＋i－1n?n＋in)．從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊．這樣，在區(qū)間n＋i－1n，n＋in上，用小矩形面積ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有ΔSi≈ΔSi′＝fn＋i－1n?n＋inΔx＝n2(n＋i－1)(n＋i)?1n＝n(n＋i－1)(n＋i)(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
小曲邊梯形的面積和Sn＝i＝1nΔSi≈i＝1nΔSi′
＝i＝1n n(n＋i－1)(n＋i)＝nn(n＋1)＋n(n＋1)(n＋2)＋…＋n(n＋n－1)(n＋n)
＝n1n－1n＋1＋1n＋1－1n＋2＋…＋1n＋n－1－1n＋n
＝n1n－12n＝12.從而得到S的近似值S≈Sn＝12.
(4)取極限
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoer/77450.html
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