南安一中~學(xué)年度上學(xué)期期末考高二年理科數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷 選擇題（共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．下列幾種推理過程是演繹推理的是(　　)A．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇B．金導(dǎo)電，銀導(dǎo)電，銅導(dǎo)電，鐵導(dǎo)電，所以一切金屬都導(dǎo)電C．由圓的性質(zhì)推測球的性質(zhì)D．兩條平行直線與第三條直線相交，內(nèi)錯角相等，如果A和B是兩條平行直線的內(nèi)錯角，則A＝B2．的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象最有可能的是圖中的(　　)用反證法證明命題 自然數(shù)a、b 、c中恰有一個偶數(shù)時A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù) B．a(chǎn)、b 、c都是偶數(shù)C．a(chǎn)、b、c中或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù) D．a(chǎn)、b 、c中至少有兩個偶數(shù)，當(dāng)時，（　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．為純虛數(shù)，那么實數(shù)的值為（ ）. gkstkA．－2 B．1 C．2 D．1或 －2 6．在下列命題中：①若、共線，則、所在的直線平行； ②若、所在的直線是異面直線，則、一定不共面； ③若、、三向量兩兩共面，則、、三向量一定也共面； ④已知三向量、、，則空間任意一個向量總可以唯一表示為 ．其中正確命題的個數(shù)為（ ） A．3 B．2 C．1 D．07．一個物體作變速直線運動，速度和時間關(guān)系為，則該物體從0秒到4秒運動所經(jīng)過的路程為( )Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．—8．若函數(shù)，則是（ 　）Ａ．僅有最小值的奇函數(shù) Ｂ．僅有最大值的偶函數(shù)Ｃ．既有最大值又有最小值的偶函數(shù) Ｄ．非奇非偶函數(shù)9．若函數(shù)h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是．[1，＋∞)－2，＋∞)[－2，] Ｄ． [－2，＋∞)的正三角形內(nèi)任一點到三邊距離之和為定值，類比上述命題，棱長為的正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為（　　）Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．11．如圖，四面體中，分別的中點，,，則點到平面的距離 ( )A． 　　　　B． 　　 　C．　　　D． 12．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足 對于恒成立，則（ ）A．， B．，C．， D．，第Ⅱ卷 非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，滿分16分）13．若 為虛數(shù)單位，則的值為_______.14．15．在橢圓C：中，當(dāng)離心率e趨近于0，橢圓就趨近于圓，類比圓的面積公式，橢圓C的面積 ．16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，給出以下命題：①當(dāng)時，； ②函數(shù)有五個零點；③若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)的取值范圍是；④對恒成立．． ，其導(dǎo)函數(shù)為。（Ⅰ）求在處的切線的方程 （Ⅱ）求直線與圖象圍成的圖形的面積18．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列，＝2n∈N*.（Ⅰ）求并由此猜想出的一個通項公式；19．（本小題滿分12分）如圖是某直三棱柱側(cè)棱與底面垂直被削去后的直觀圖與三視圖中的側(cè)(左)視圖、俯視圖，側(cè)(左)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形．求出該幾何體的體積；求證：平面BDE平面BCD；．；②；③．（以上三式中均為常數(shù)，且）（注：函數(shù)的定義域是）．其中表示4月1日，表示5月1日，…，依此類推.（Ⅰ）請判斷以上哪個價格模擬函數(shù)能準(zhǔn)確模擬價格變化走勢，為什么？（Ⅱ）若該果品4月1日投入市場的初始價格定為6元，且接下來的一個月價格持續(xù)上漲，并在5 月1日達(dá)到了一個最高峰，求出所選函數(shù)的解析式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，為保護(hù)果農(nóng)的收益，打算在價格下跌期間積極拓寬境外銷售，且銷售價格為該果品上市期間最低價格的2倍，請你預(yù)測該果品在哪幾個月內(nèi)價格下跌及境外銷售的價格．21．（本小題滿分12分）如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，AA1C1C也為菱形且∠A1AC=∠DAB=60o，平面AA1C1C平面ABCD.證明：BDAA1；證明：平面AB1C平面DA1C1；在CC1上是否存在點P，使DA1和平面DA1C1所成銳二面角的余弦值為？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．， ．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅱ）如果存在，使得成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)；（Ⅲ）如果對任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．南安一中~學(xué)年度上學(xué)期期末考高二年理科數(shù)學(xué)試卷 參考答案一、選擇題 （本大題共12小題，每小題5分，滿分60分）1-6 DACCAD 7-12 CCDBBD 11．解析：易證平面，以為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可求是平面的一個法向量．又點到平面的距離，選B．12．解析：設(shè)，，在上遞增，gkstk且，同理，，∴， 選D二、填空題 （本大題共4小題，每小題4分，滿分16分）13． －4 14． 15． 16． ①③④ 14．解析： ∵為奇函數(shù)，∴16．①③④．解析：函數(shù)的圖象如圖，可得極值點，，時，，．由圖象可知有3個零點（是零點）；若關(guān)于的方程有解，則三、解答題17．解：（Ⅰ） 又 ………4分 即： ………6分 （Ⅱ）由 ………8分 ………12分18．解：由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.由此猜想an的一個通項公式為：an＝n＋1(nN*)．（Ⅱ）證明：當(dāng)n＝1時，a12，成立．②假設(shè)當(dāng)n＝kk∈N*且k≥1時成立，即akk＋1，那么當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝ak(ak－k)＋1(k＋1)(k＋1－k)＋1＝k＋2，也就是說，當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1(k＋1)＋1.根據(jù)和，對于所有nN*，都有ann＋1.19．解由題意可知，四棱錐B－ACDE中，AE平面ABC，AE⊥AB ，又AB⊥AC，AE和AC相交，所以，AB平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，則四棱錐B－ACDE的體積為．（Ⅱ）如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系， ………5分設(shè)平面BDE和平面BCD，取 ………6分，取 ………7分，∴平面BDE平面BCD， ………11分直線CE與平面BDE的夾角正弦值為 ………12分20．解：（Ⅰ）應(yīng)選．………… 1分因為①中單調(diào)函數(shù)；②的圖象不具有先升再降后升特征；③中，，令，得，，有兩個零點．出現(xiàn)兩個遞增區(qū)間和一個遞減區(qū)間，符合價格走勢；…………… 4分（Ⅱ）由，，得…… 6分 解得（其中舍去），即；………… 8分（Ⅲ）由，解得，………… 9分x0(0，1)1(1，3)3（3，5）56↑極大值10↓極小值6↑26 ………… 11分所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故這種水果在5月，6月份價格下跌．且境外銷售的價格為（元）………… 12分21．解：證明：連接BD，平面ABCD為菱形，BD⊥AC，由于平面AA1C1C平面ABCD，則BD平面AA1C1C，又A1A平面AA1C1C，故BDAA1. ………………4分（Ⅱ）證明：由棱柱的性質(zhì) 知AB1C1D為平行四邊形 ∴AB1∥DC1，AB1在平面DA1C1DC1平面DA1C1AB1∥平面DA1C1B1C∥平面DA1C1AB1∩B1C＝B1，平面AB1C平面DA1C1.（Ⅲ）設(shè)AC交BD于O，連接A1O， ∵菱形AA1C1C且∠A1AC =60o，∴正三角形A1AC ，且O為AC中點， ∴A1O⊥AC 又平面AA1C1C平面ABCD平面AA1C1C平面ABCDA1O⊥平面ABCD，，，， ，設(shè)則設(shè)平面DA1C1和平面PDA1 的的法向量分別為，取取 ………10分（舍去） ………11分當(dāng)P為CC1的中點時，平面PDA1和平面DA1C1所成的銳二面角的余弦值為．…12分22. 解：（Ⅰ），， ．．．．．．．1分①，函數(shù)在上單調(diào)遞增 ．．．．．．．．2分②，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ．．．．．3分，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）存在，使得成立等價于：，．．．．．．．．．．．．．．．．5分考察， ， ．．．．．．．．．．．．．．．6分遞減極（最）小值遞增 ．．．．．．．．．．．．．．．．．8分由上表可知：，， ．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以滿足條件的最大整數(shù)； ．．．．．．．．．．．．．．．．10分（Ⅲ）問題等價于當(dāng)，，即當(dāng)時，恒成立，等價于恒成立， ．．．．．．．．．．．11分記，所以， 。記，當(dāng)，即函數(shù)在區(qū)間上遞增，當(dāng)，，即函數(shù)在區(qū)間上遞減，取到極大值也是最大值 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分所以。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分另解：設(shè)，，∵，，∴在上遞減，且，∴當(dāng)時，，時，，即函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減， ．．．．．．．．．．13分所以，所以。 ．．．．．．．．．．．．．．．．14分gkstk俯視圖側(cè)視圖福建省南安一中高二上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試題
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