第二章 解三角形
§1　正弦定理與余弦定理
1.1　正弦定理
雙基達標　限時20分鐘
1．下列對三角形解的情況的判斷中，正確的是 (　　)．
A．a(chǎn)＝4，b＝5，A＝30°，有一解
B．a(chǎn)＝5，b＝4，A＝60°，有兩解
C．a(chǎn)＝3，b＝2，B＝120°，有一解
D．a(chǎn)＝3，b＝6，A＝60°，無解
解析　對于A，bsin A<a<b，故有兩解；對于B，b<a，故有一解；對于C，B＝120°且
a>b，故無解；對于D，a<bsin A，故無解．
答案　D
2．有關正弦定理的敘述：
①正弦定理只適用于銳角三角形；②正弦定理不適用于直角三角形；③在某一確定的三角形中，各邊與它所對角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正確的個數(shù)是 (　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　正弦定理適用于任意三角形，故①②均不正確；由正弦定理可知，三角形一旦確
定，則各邊與其所對角的正弦的比就確定了，故③正確；由比例性質(zhì)和正弦定理可推知
④正確．
答案　B
3．已知銳角△ABC的面積為33，BC＝4，CA＝3，則角C的大小為 (　　)．
A．75° B．60° C．45° D．30°
解析　由S△ABC＝33＝12BC•CA•sin C＝12×3×4sin C得sin C＝32，又C為銳角．故C＝
60°.
答案　B
4．在△ABC中，由“a>b”________推出“sin A>sin B”；由“sin A>sin B”________推出“a>b”．(填“可以”或“不可以”)
解析　在△ABC中，必有sin B>0，由正弦定理得ab＝sin Asin B，于是，若a>b，則ab>1，則sin Asin B>1.
由sin B>0，可得sin A>sin B；反之，若sin A>sin B，
由sin B>0，可得sin Asin B>1，則ab>1，a>b.
答案　可以　可以
5．已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角所對的邊，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，則sin A＝________.
解析　∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝π3，
∴由正弦定理，asin A＝bsin B，1sin A＝3sinπ3.∴sin A＝12.
答案　12
6．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，試求c及△ABC的外接圓半徑R.
解　∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理，得asin A＝csin C＝2R，∴c＝a•sin Csin A＝10×3222＝56，∴2R＝asin A＝1022＝
10 2，∴R＝52.
綜合提高（限時25分鐘）
7．在△ABC中，AB＝3，A＝45°，C＝75°，則BC＝ (　　)．
A．3－3 B.2 C．2 D．3＋3
解析　∵AB＝3，A＝45°，C＝75°，
由正弦定理得：BCsin A＝ABsin C⇒BCsin 45°＝ABsin 75°＝36＋24，
∴BC＝3－3.
答案　A
8．已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝c＝6＋2且A＝75°，則b等于(　　)．
A．2 B．4＋23
C．4－23 D.6－2
解析　sin A＝sin 75°＝sin(30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋sin 45°cos 30°＝2＋64，
由a＝c＝6＋2可知，C＝75°，所以B＝30°，sin B＝12.
由正弦定理得b＝asin A•sin B＝2＋62＋64×12＝2，故選A.
答案　A
9．在△ABC中，a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，則b＝______.
解析　cos C＝13⇒sin C＝223；S△ABC＝12absin C⇒12•32•b•223＝43⇒b＝23.
答案　23
10．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是________．
解析　由正弦定理，得x＝bsin Asin B＝22sin A，
∵45°<A<90°或90°<A<135°，∴2<x<22.
答案　2<x<22
11．在△ABC中，已知tan B＝3，cos C＝13，AC＝36，求△ABC的面積．
解　設AB、BC、CA的長分別為c、a、b.
由tan B＝3，得B＝60°，∴sin B＝32，cos B＝12.
又sin C＝1－cos2C＝223，
由正弦定理，得c＝bsin Csin B＝36×22332＝8.
又∵A＋B＋C＝180°，
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝32×13＋12×223＝36＋23.
∴所求面積S△ABC＝12bcsin A＝62＋83.
12．(創(chuàng)新拓展)在△ABC中，已知b＋aa＝sin Bsin B－sin A，且2sin A•sin B＝2sin2C，試判斷其形狀．
解　由正弦定理可得b＋aa＝sin Bsin B－sin A＝bb－a，
∴b2－a2＝ab，①
又∵2sin Asin B＝2sin2C，
∴由正弦定理，得2ab＝2c2.②
由①、②得b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2.
∴該三角形為以B為直角頂點的直角三角形．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoer/80618.html

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