一、參考例題
［例1］判斷下列事件是否是互斥事件.
(1)將一枚硬幣連拋2次，設(shè)事件A：“兩次出現(xiàn)正面”，事件B：“只有一次正面”；
(2)對敵機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A：“兩次都擊中敵機”,
事件B：“至少有一次擊中敵機”.
分析：(1)中兩事件不可能同時發(fā)生;
(2)因為事件B中的結(jié)果中含有“兩次都擊中敵機”，所以事件A、B有可能同時發(fā)生.
解：(1)事件A與B是互斥事件.
(2)事件A與B不是互斥事件.
評述：關(guān)鍵在于判斷事件的結(jié)果是否有包容關(guān)系.
［例2］在一個袋內(nèi)裝有均勻紅球5只，黑球4只，白球2只，綠球1只，今從袋中任意摸取一球，計算：
(1)摸出紅球或黑球的概率.
(2)摸出紅球或黑球或白球的概率.
分析：(1)設(shè)事件A：“摸出一球是紅球”，事件B：“摸出一球是黑球”.
因為事件A與B不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥的.
(2)設(shè)事件C：“摸出一球是白球”，則A、B、C彼此互斥.
解：設(shè)事件A：“摸出一球是紅球”，設(shè)事件B：“摸出一球是黑球”，設(shè)事件C：“摸出一球是白球”.
∵A與B、B與C、C與A兩兩互斥,
且P(A)= ，P(B)= ，P(C)= ,
∴(1)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出紅球或黑球”的概率為
P(A+B)=P(A)+P(B)= .
(2)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出紅球或黑球或白球”的概率為
P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) = .
［例3］某醫(yī)院一天內(nèi)派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下.
醫(yī)生人數(shù)012345人以上
概率0.10.160.30.40.20.04
求：(1)派出醫(yī)生至多2人的概率；
(2)派出醫(yī)生至少2人的概率.
分析：設(shè)“不派出醫(yī)生”為事件A，“派出1名醫(yī)生”為事件B，“派出2名醫(yī)生”為事件C，“派出3名醫(yī)生”為事件D，“派出4名醫(yī)生”為事件E，“派出5名以上醫(yī)生”為事件F，則有P(A)=0.1，P(B)=0.16，P(C)=0.3，P(D)=0.4，P(E)=0.2，P(F)=0.04.由于事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，因此，(1)、(2)中的概率可求.
解：設(shè)事件A：“不派出醫(yī)生”，事件B：“派出1名醫(yī)生”，事件C：“派出2名醫(yī)生”，事件D：“派出3名醫(yī)生”，事件E：“派出4名醫(yī)生”，事件F：“派出5名以上醫(yī)生”.
∵事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，且 (A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.4,
P(E)=0.2,P(F)=0.04,
∴“派出醫(yī)生至多2人”的概率為
P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3=0.56,
“派出醫(yī)生至少2人”的概率為
P(C+D+E+F) =P(C)+P(D)+P(E)+P(F) =0.3+0.4+0.2+0.04=0.94.
［例4］一批產(chǎn)品共50件，其中5件次品，45件合格品，從這批產(chǎn)品中任意抽取2件，求其中出現(xiàn)次品的概率.
分析：由于從這批產(chǎn)品中任意取2件，出現(xiàn)次品可看成是兩個互斥事件A：“出現(xiàn)一個次品”和事件B：“出現(xiàn)兩個次品”中，有一個發(fā)生，故根據(jù)互斥事件的概率加法公式可求“出現(xiàn)次品”的概率.
解：設(shè)事件A：“出現(xiàn)一個次品”,
事件B：“出現(xiàn)兩個次品”,
∴事件A與B互斥.
∵“出現(xiàn)次品”是事件A和B中有一個發(fā)生,
∴P(A)= = ,
P(B)= .
∴所求的“出現(xiàn)次品”的概率為
P(A+B)=P(A)+P(B) = .
評述：注意對互斥事件概率加法公式的靈活運用.
二、參考練習(xí)
1.選擇題
(1)有10名學(xué)生，其中4名男生，6名女生，從中任選2名,則恰好是2名男生或2名女生的概率為
A. B.
C. D.
答案：D
(2)一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球，3個黑球，5個紅球，從中任取1球是白球或黑球的概率為
A. B.
C. D.
答案：B
(3)某工廠的產(chǎn)品分一、二、三等品三種，在一般的情況下，出現(xiàn)一等品的概率為95%,出現(xiàn)二等品的概率為3%，其余均為三等品，那么這批產(chǎn)品中出現(xiàn)非三等品的概率為
A.0.50B.0.98
C.0.97D.0.2
答案：B
(4)從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中任取兩個數(shù)，分別有下列事件，其中為互斥事件的是
①恰有一個奇數(shù)和恰有一個偶數(shù) ②至少有一個是奇數(shù)和兩個數(shù)都是奇數(shù) ③至少有一個是奇數(shù)和兩個數(shù)都是偶數(shù) ④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)
A.①B.②④
C.③D.①③
答案：C
2.填空題
(1)若事件A與B________，則稱事件A與B是互斥的；若事件A1，A2，…，An彼此互斥，則P(A1+A2+…+An)=________.
答案：不可能同時發(fā)生P(A1)+P(A2)+…+P(An)
(2)甲、乙兩人下棋，兩個下成和棋的概率是 ，乙獲勝的概率是 ，則乙輸?shù)母怕适莀_______.
答案：
(3)口袋內(nèi)裝有100個大小相同的紅球、白球和黑球，其中紅球有45個，從口袋中摸出一個球，摸出白球的概率是0.23,則摸出黑球的概率是________.
答案：0.32
(4)3人都以相同概率分配到4個單位中的每一個，則至少有2人被分配到一個單位的概率為________.
答案：
3.解答題
(1)某地區(qū)的年降水量在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示：
年降水量(單位：mm)［１００，１５０］［１５０，２００］［２００，２５０］［２５０，３００］
概率0.100.250.200.12
求：①降水量在［２００，３００］范圍內(nèi)的概率；
②降水量在［１００，２５０］范圍內(nèi)的概率.
解：①P=0.20+0.12=0.32，
∴降水量在［２００，３００］范圍內(nèi)的概率為0.32.
②P=0.10+0.25+0.20=0.55,
∴降水量在［１００，２５０］范圍內(nèi)的概率為0.55.
(2)從裝有大小相同的4個紅球，3個白球，3個黃球的袋中，任意取出2個球，求取出的2個球顏色相同的概率.
分析：“2個球顏色相同”這一事件包括“2個球是紅球”“2個球是白球”“2個球是黃球”3種結(jié)果.
解：記“取出2個球為紅球”為事件A,
“取出2個球為白球”為事件B,
“取出2個球為黃球”為事件C,
則A、B、C彼此互斥,
且P(A)= ,
P(B)= ,
P(C)= .
“2個球顏色相同”則可記為A+B+C,
∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)= .
(3)有幣按面值分類如下：壹分5枚，貳分3枚，伍分2枚，從中隨機抽取3枚，試計算：
①至少有2枚幣值相同的概率；
②3枚幣值的和為7分的概率.
分析：①至少有2枚幣值相同包括恰好有2枚幣值相同和3枚幣值全相同2種情況;
②3枚幣值的和為7分包括“1枚伍分，2枚壹分”1種情況.
解：①由題意可設(shè)“任取3枚幣值各不相同”為事件A，則“至少有2枚幣值相同”為事件 .
又∵P(A)= ,
∴P( )=1- .
②設(shè)“3枚幣值和為7分”為事件B,則P(B)= .
評述：要注意認(rèn)真分析題意，靈活應(yīng)用對立事件的概率公式.
●備課資料?
一、參考例題
［例1］拋擲一個均勻的正方體玩具，記事件A“落地時向上的數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“落地時向上的數(shù)是偶數(shù)”，C為事件“落地時向上的數(shù)是3的倍數(shù)”，問下列事件是不是互斥事件，是不是對立事件？
(1)A與B;(2)A與C;(3)B與C.
分析：利用互斥事件與對立事件的概念.
解：(1)∵事件A與事件B不可能同時發(fā)生，而且在試驗中必有一個發(fā)生,
∴事件A與B是互斥事件，也是對立事件.
(2)∵事件A與C都可能含有同一結(jié)果“落地時向上的數(shù)為3”，故A與C可能同時發(fā)生.
∴A與C不是互斥事件，因而也不是對立事件.
(3)∵事件B與C都可能含有同一結(jié)果“落地時向上的數(shù)為6”，故B與C可能同時發(fā)生.
∴B與C不是互斥事件.故也不是對立事件.
［例2］某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.24、0.28、0.19，計算這一射手在一次射擊中，不夠8環(huán)的概率.
分析：由于事件“射擊擊中不夠8環(huán)”與事件“射擊擊中8環(huán)或8環(huán)以上”是相互對立事件，而后者的概率運用互斥事件中有一個發(fā)生的概率公式可求，因此利用對立事件的概率公式可求解.
解：設(shè)事件A：“一次射擊擊中的不夠8環(huán)”，事件B：“一次射擊擊中8環(huán)或8環(huán)以上”，
∴事件A與B是互斥事件.
∵事件A與B中必有一個發(fā)生,
∴事件A與B又是對立事件.
∴P(A)=1-P(B).
∴P(B)=0.24+0.28+0.19=0.71.
∴P(A)=1-0.71=0.29.
∴該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為0.29.
評述：注意利用互斥事件中有一個發(fā)生的概率公式及對立事件的概率公式.
［例3］有三個人，每人都以相同概率被分配到四個房間中的每一間，試求：
(1)三人都分配到同一個房間的概率；
(2)至少有兩人分配到同一房間的概率.
分析：(1)因為每人都以相同概率被分配到四個房間中的每一間，所以三人被分配到四個房間中的一間共有4×4×4=43種等可能性的結(jié)果出現(xiàn)，而事件“三人都分配到同一個房間”中含有4個結(jié)果，故根據(jù)等可能性的概率公式可求.
(2)設(shè)事件A“至少有兩人分配到同一房間”,
事件B“三人都分配到不同的房間”,
故事件A與B是對立事件.而P(B)= ,
因此，利用對立事件的概率關(guān)系可求P(A).
解：(1)根據(jù)等可能事件的概率公式,得三人都分配到同一個房間的概率為
P= .
∴三人都分配到同一房間的概率為 .
(2)設(shè)事件A“至少有兩人分配到同一房間”，事件B“三人都分配到不同的房間”.
∵事件A與B是對立事件，且P(B)= ,
∴P(A)=1- .
∴至少有兩人分配到同一房間的概率為 .
［例4］某電子元件50個，其中一級品45個，二級品5個，從中任意取3個，試求至少有一個二級品的概率.
分析：設(shè)事件A：“至少有一個二級品”，則事件A是指事件“有一個二級品”“有兩個二級品”“有三個二級品”中有一個發(fā)生，因而，可用互斥事件的概率加法公式計算.另外，事件A與事件“沒有一個二級品”是對立事件，故利用對立事件的概率公式也可求解，且比較簡便.
解法一：設(shè)事件A：“至少有一個二級品”，它是指事件“有一個二級品”“有兩個二級品”“有三個二級品”中有一個發(fā)生，由于上述三個事件是互斥的，
∴P(A)= ≈0.276.
解法二：事件A與“沒有一個二級品”是對立事件，而事件“沒有一個二級品”的概率為 ,
∴P(A)=1- ≈0.276.
∴至少有一個二級品的概率約為0.276.
［例5］某小組有男生6人，女生4人，現(xiàn)從中選出2人去校院開會，其中至少有1名女生的概率為多少？
分析：設(shè)事件“至少有1名女生”為A，則事件A可看成是事件“有一名女生”“有兩名女生”中有一個發(fā)生.而事件“有一名女生”和“有兩名女生”是互斥的，所以P(A)可利用互斥事件概率加法公式求得.另外事件A與事件“沒有女生”是對立事件，而事件“沒有女生”的概率P= .
解法一：P(A)= .
解法二：P(A)=1-P( )=1- = ,
∴至少有1名女生的概率是 .
二、參考練習(xí)
1.選擇題
(1)下列命題中，真命題的個數(shù)是
①將一枚硬幣拋兩次，設(shè)事件A：“兩次出現(xiàn)正面”，事件B：“只有一次出現(xiàn)反面”，則事件A與B是對立事件 ②若事件A與B為對立事件，則事件A與B為互斥事件 ③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B為對立事件 ④若事件A與B為對立事件，則事件A+B為必然事件
A.1B.2
C.3D.4
答案：B
(2)袋中裝白球和黑球各3個，從中任取2球，則至多有1黑球的概率是
A. B.
C. D.
答案：B
2.填空題
(1)在10件產(chǎn)品中有8件一級品，2件二級品，現(xiàn)從中任選3件，設(shè)事件A：“所取的都是一級品”，則事件 表示為________.
答案：所取的不都是一級品
(2)口袋內(nèi)有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出一球，摸出紅球的概率是0.3,摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是________.
答案：0.2
3.解答題
(1)某班有學(xué)生50名，其中班干部5名，現(xiàn)從中選出2名作為學(xué)生代表，求：
①選出的2名學(xué)生至少有1名是班干部的概率;
②選出的2名學(xué)生中沒有班干部的概率.
解：①P=1- .
②P= .
(2)有紅、黃、藍(lán)三種顏色的信號旗各1面，按不同次序排列可組成不同的信號，并且可以用1面旗、2面旗或3面旗組成信號，求：
①組成的信號是由1面或2面信號旗組成的概率;
②組成的信號不是由1面信號旗組成的概率.
解：①P= = ;
②P=1- .
(3)某班共有學(xué)生n(n≤50)個人，若一年以365天計算，列式表示至少有2人在同一天過生日的概率.
解：記“至少有2人在同一天生日”為事件A，則“沒有人在同一天生日”為事件A的對立事件，即 . ∵P( )= ,
∴P(A)=1- .
(4)某單位的36人的血型分別是：A型的有12人，B型的有10人，AB型的有8人，O型的有6人，如果從這個單位隨機地找出兩個人，那么這兩個人具有不同的血型的概率是多少？
解：記“兩個人具有不同血型”為事件A，則“兩個人血型相同”為事件A的對立事件，即 ，且“兩個人為A型血”“兩個人為B型血”“兩個人為AB型血”“兩個人為O型血”為彼此互斥事件，這些互斥事件只要有一個發(fā)生，則 發(fā)生，而
P( )= ,
∴P(A)=1-P( )=1- .
(5)一個袋內(nèi)裝有3個紅球，n個白球，從中任取2個，已知取出的球至少有一個是白球的概率是 ，求n的值.
解：記“至少有一個是白球”為事件A，則“任取2球，全是紅球”是事件A的對立事件，即 .
又∵P( )= ,
由對立事件的概率公式P(A)+P( )=1，得P(A)=1- = ,
即n2+5n-204=0.
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