南京師范大學涂榮豹教授對江蘇2014年高考預(yù)測題
小題：
1．已知a，b是非零向量，且滿足，則a與b的夾角是（ ）
A． B． C． D．
2．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則的單調(diào)遞增區(qū)間為 （ ）
A． B． C． D．
3．若鈍角三角形三個內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊和最小邊長度比為m，則m的范圍是 （ ）
A． B． C． D．
4．設(shè)、、為平面，m、n、l為直線，則的一個充分條件是 （ ）
A． B．
C． D．
5．設(shè)直線關(guān)于原點對稱的直線為，若與橢圓的交點為A、B，點P為橢圓上的動點，則使的面積為的動點P的個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．設(shè)，則以下不等式中不恒成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．設(shè)函數(shù)滿足，則方程的根的個數(shù)是（ ）
A．無窮個 B．沒有或者有限個 C．有限個 D．沒有或者無窮個
8．今測得太陽光線與水平面成角，一棵豎直生長的雪松樹在水平地面上的影長為10米，則雪松高度h的范圍是 （ ）
A． B． C． D．
9．已知、均為銳角，且，則= .
10．過點且與曲線在點處的切線平行的直線方程是
.
11．已知，及，則= .
解：，則是R上的增函數(shù)，得
12．給定平面上的5個點A、B、C、D、E，由這些點連成4條線段，每點至少是一條線段的端點，任意三線段不共點.不同的連結(jié)方式有 種.
解：圖中4種連結(jié)方式都滿足要求.
（圖中僅表示點、線間連結(jié)形式，不考
慮點的位置）.
情況（1），主要是中心點的選擇，
決定其連結(jié)方式有5種；
情況（2），可視為5個點A、B、C、D、E的排列，但一種排列與其逆序排列是同一的，且兩者是一一對應(yīng)的，故該情況連結(jié)方式有（種）；
情況（3），首先是分歧點的選擇有5種，其次是分叉的兩點的選擇有（種），最后是余下并連兩點的順序有別，有2！種，共計（種）；
情況（4），選擇3點構(gòu)造三角形，有（種）.
總計有（種）連結(jié)方式.
大題：
1．已知向量
求函數(shù)的最大值、最小正周期，并寫出在上的單調(diào)區(qū)間。
解：
所以的最大值為，最小正周期，在上遞增，在上遞減。
2．中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知a、b、c成等比數(shù)列，且
（I）的值；
（II）設(shè)，求的值.
解：（I）由，得，由及正弦定理得于是
（II）由，得；由，得，即
由余弦定理，
得
可得。
3．某工廠統(tǒng)計資料顯示，產(chǎn)品次品率p與日產(chǎn)量x（件）的關(guān)系如右表。又知每生產(chǎn)一件正品贏利a元，每生產(chǎn)一件次品虧損元（）。
（I）將該廠日贏利額T（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（II）為了獲得最大贏利，該廠的日產(chǎn)量定為多少件？（�。�
x
1
2
3
4
…
98
p
…
1
解：（I）由題意可知
日產(chǎn)量x件中，正品件，次品px件，
日贏利額
（II）
當且僅當時取等號，即
因為，故（或82）時，T取最大值.
4．某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力逐年下降，若不進行技術(shù)改造，預(yù)計從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元。今年初該企業(yè)一次性投資600萬元進行技術(shù)改造，預(yù)計在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為 萬元（n為正整數(shù)）。
（I）設(shè)從今年起的前n年，該企業(yè)不進行技術(shù)的改造的累計純利潤為萬，進行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求、的表達式；
（II）以上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤？
解：（I）依題設(shè)，
（II）
因為函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以，當時，
當時，
所以，僅當時，
答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤。
5．甲、乙兩隊進行一場排球比賽，采用五局三勝制，即規(guī)定五局定勝負，先勝三局者獲勝，且比賽就此結(jié)束�，F(xiàn)已知甲、乙兩隊每比賽一局，甲隊獲勝的概率是0.6，乙隊獲勝的概率是0.4,且每局比賽的勝負是相互獨立的，問：
（I）甲隊比3：2獲勝的概率是多少？（II）乙隊獲勝的概率是多少？
解：（I）設(shè)甲隊以3：2獲勝的事件為A，則第五局甲必勝，前4局各勝2局，所以
（II）設(shè)乙隊獲勝的事件為B，則B包括3種情況：（1）3：0，乙勝；（2）3：1，
乙勝；（3）3：2，乙勝.
答：甲隊以3：2獲勝的概率是0.2201436；乙隊獲勝的概率是0.31744。
6．已知四棱錐的底面是直角梯形，底面ABCD，是PB的中點.
（I）證明：平面平面PCD；
（II）求AC與PB所成的角；
（III）求平面AMC與平面BMC所成角的大小.
方法一：（I）證明：底面，
由三垂線定理得，則平面PAD，
平面平面PAD.
（II）解：過點B作，且，則是AC與PB所成的角.
與底面ABCD所成的角.
則
又
是等腰直角三角形，
則
與PB所成的角為
（III）解：作，垂足為N，連接BN.在直角中，又
得
則是所求二面角的平面角.
，得面PAC，
在直角中，，所以
在等腰中用等積變換，
則所求的二面角為
方法二：底面ABCD，構(gòu)成空間坐標系，各點坐標是
（I）證明：，由得
由得則平面PAD.
所以平面平PAD.
（II）解：
所以AC與PB所成的角為
（III）解：在MC上取一點，則，
，要使，則需
即，解得由得，則N點坐標為 從而為 所求二面角的平面角。
所以所求二面角為
7．如圖，在長方體中，點E在棱AB上移動.
（I）證明：；
（II）若E為AB中點，求E到面的距離；
（III）AE等于何值時，二面角的大小為
方法一
（I）證明：
（II）設(shè)點E到平面的距離為h，由題設(shè)可得
算得
則
（III）過D作，垂足為H，連則
為二面角的平面角.
設(shè)，在直角中，
在直角中，在直角中，
在直角中，，在直角中，
因為以上各步步步可逆，所以當時，二面角的 大小為
方法二：以DA，DC，DD1建立空間坐標系，設(shè)，有
（I）證明：因為，所以，
（II）解：E是AB中點，有， 設(shè)平面的法向量為則也即，
得，從而，點E到平面的距離
（III）設(shè)平面的法向量為
由令，得
則于是
（不合，舍去），
即時，二面角的大小為
8．如圖，過拋線的對稱軸上一點作直線與拋物線交于A、B兩點，點Q是P關(guān)于原點的對稱點.
（I）若點P為定點，求證為定值；
（II）設(shè)點P分有向線段所成的比為，證明；
（III）設(shè)直線AB的方程是，過A、B兩點的圓與拋物線在點A處有共同的切線，求圓心的方程.
解：（1）設(shè)直線AB方程為，代入
得 ①。
設(shè)則是方程①的兩個根，
可得
因為P點為定點時,m是定值,
所以是定值.
（II）由題設(shè)有得點Q是點P關(guān)于原點的對稱點，
，
所以
（III）由，得點、由得
所以拋物線在點A處的切線斜率為
設(shè)過A、B的圓的方程是，
則
解得
圓的方程是，即
9．設(shè)直線，雙曲線，雙曲線E的離心率為與E交于P、Q兩點，直線l與y軸交于R點，且
（I）證明：
（II）求雙曲線E的方程；
（III）若點F是雙曲線E的右焦點，M、N是雙曲線上兩點，且，求實數(shù)的取值范圍.
解：（I）雙曲線離心率
設(shè)直線l方程為由，及得①，
設(shè)，則是①的兩根，②.
即
③將②代入③得
即④.得證
（II）易知，
將代入 ②得⑤解④、⑤得
雙曲線E的方程為
（III）雙曲線E的右焦點F為
設(shè)，
.
把M、N兩點坐標代入得
整理得，且
，得，
因此所求的范圍是
10．設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，
且
（I）證明：；
（II）證明：；
（III）若函數(shù)，證明：當且時，
解：（I）證明：是函數(shù)的兩個極值點，是的 兩個根.
，得
（II）證明：設(shè)，則， 由， 得，得
在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；，
故
（III）證明：是的兩個實根，
又
故
11．已知函數(shù)當時，的值域為，當時，的值域為……當時，的值域為，其中a，b為常數(shù)，
（I）時，求數(shù)列與的通項；
（II）設(shè)且，若數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，求b的值.
（III）若，設(shè)與的前n項和分別記為與，
求的值.
（I）解：函數(shù)在R上是增函數(shù)，
數(shù)列與都是公差為b的等差數(shù)列.
（II）解：；由是等比數(shù)列，知應(yīng)為常數(shù).
又是公比不為1的等比數(shù)列，則不是常數(shù)，必有
（III）解：兩式相減，
得
.
12．已知函數(shù)
（1）若函數(shù)的圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于1，求證：；
（2）若，則函數(shù)的函數(shù)的圖象上的任意的一點的切線的斜率為k，求證：是成立的充要條件。
解：（1）設(shè)函數(shù)的圖象上任意不同的兩點為，
且，則，即有
因為，所以，即
又因，所以，即故
（2）當時，
由題意，得，即對于任意的等價于
；即，或者
解得故使成立的充要條件是
13．在中，若且的周長為12.
（1）證明為直角三角形；
（2）求面積的最大可能值.
解：（1）由已知得，
即
又
故
則，即為直角三角形.
（2）設(shè)A、B、C分別對應(yīng)的邊為a、b、c，依題意得
因為，所以，
即，
即
14．已知的面積為，且
（1）設(shè)，求向量與的夾角正切值的取值范圍.
（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q，，當取得最小值時，求此雙曲線的方程.
（3）設(shè)為（2）中所求雙曲線的左焦點，若A、B分別為此雙曲線漸近線l1、l2上的動點,且,求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.
解：（1）由得。又，則
（2）設(shè)所求的雙曲線方程為，則，
又由
，
當且僅當時，最小，此時Q的坐標為或，
所求方程為
（3）設(shè)的方程為的方程為，則有…①，…②
…③，設(shè)，由①、②得
代入③得
的軌跡為集點在y軸上的橢圓.
15．已知直線與雙曲線有A、B兩個不同的交點.
（1）如果以AB為直徑的圓恰好過原點O，試求k的值；
（2）是否存在k，使得兩個不同的交點A、B關(guān)于直線對稱？試述理由.
解：（1）設(shè)，則以AB為直徑的圓恰好過原點O的充要條件是，即…①
由消去y得 …②
將其代入①得，解得或
當時，方程②為，有兩個不等實根；
當時，方程②為，有兩個不等實根.
故當或時，以AB為直徑的圓恰好過原點O.
（2）若關(guān)于直線對稱，
則
將④整理得
因為所以，解之，得這個結(jié)果與③矛盾.
故不存在這樣的k，使兩點A、B關(guān)于直線對稱.
16．已知雙曲線；拋物線C2的頂點在原點O，又C1的焦點是C2的左焦點F1.
（1）求證：C1與C2總有兩個不同的交點；
（2）是否存在過C2的焦點F1的弦AB，使有最大或最小值？若有，求出AB所在直線的方程與最值；若沒有，請說明理由.
解：（1）
由消去y，得 ①
方程①有實根、
又，不妨設(shè)
當時，無實根；
當時，有兩個不同實根，從而與總有兩個不同的交點.
（2）假設(shè)符合條件的弦AB存在.
（i）當直線斜率k存在時，易知設(shè)直線AB的方程為
由方程組，消去y，得
又原點到直線AB的距離為
（ii）當直線斜率k不存在，即AB與x軸垂直時，有
面積的最小值為，此時直線AB的方程為
當時，，因此，面積無最大值.
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