函數綜合題重點題型歸納
已知函數.
(Ⅰ)求曲線在點M()處的切線方程;
(Ⅱ)設a0. 如果過點(a, b)時作曲線y=f(x)的三條切線，證明：
設函數.
(Ⅰ)證明：的導數;(Ⅱ)若對所有都有，求的取值范圍.
已知函數，.()討論函數的單調區(qū)間;()設函數在區(qū)間內是減函數，求的取值范圍.
設函數.
(Ⅰ)求的單調期間;(Ⅱ)如果對任何，都有，求a的取值范圍.
設函數有兩個極值點，且
(I)求的取值范圍，并討論的單調性;(II)證明：
已知，其中是自然常數，
(1)討論時, 的單調性、極值; (2)求證：在(1)的條件下，;
(3)是否存在實數，使的最小值是3，若存在，求出的值;若不存在，說明理由.已知函數(R)的一個極值點為.方程的兩個實根為, 函數在區(qū)間上是單調的.
(1) 求的值和的取值范圍; (2) 若, 證明:
設函數在兩個極值點，且
(I)求滿足的約束條件，并在坐標平面內，畫出滿足這些條件的點的區(qū)域;
(II)證明：
、是定義在上且滿足如下條件的函數組成的集合：①對任意的，都有;②存在常數，使得對任意的，都有.
(I)設 ，證明：
(II)設，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的;
(III) 設，任取，令，，證明：給定正整數，對任意的正整數，成立不等式函數綜合題重點題型歸納解：(Ⅰ)求函數的導數：
曲線處的切線方程為：即
(Ⅱ)如果有一條切線過點(a，b)，則存在使
于是，若過點(a，b)可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數根，記 則
當t變化時，變化情況如下表：
t(-，0)0(0，a)a(a，+)+0-0+?極大值a+b?極小值b-?由的單調性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數根;
當時，解方程，即方程只有兩個相異的實數根;
當時，解方程，即方程只有兩個相異的實數根
綜上，如果過可作曲線三條曲線，即有三個相異的實數根，則
即 解：(Ⅰ)的導數.由于，故.(當且僅當時，等號成立).
(Ⅱ)令，則，
(?)若，當時，，故在上為增函數，所以，時，，即.
(?)若，方程的正根為，
此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數.
所以，時，，即，與題設相矛盾.
綜上，滿足條件的的取值范圍是.
解：(1)求導：
當時，，，在上遞增當，求得兩根為
即在遞增，遞減，遞增
(2)，且解得：
解：(Ⅰ)當()時，，即;
當()時，，即.
因此在每一個區(qū)間()是增函數，
在每一個區(qū)間()是減函數.6分(Ⅱ)令，則故當時，.又，所以當時，，即.當時，令，則.故當時，因此在上單調增加.故當時，，即于是，當時，.
當時，有.因此，的取值范圍是.12分
解: (I)
令，其對稱軸為。由題意知是方程的兩個均大于的不相等的實根，其充要條件為，得
⑴當時，在內為增函數;
⑵當時，在內為減函數;
⑶當時，在內為增函數;
(II)由(I)，
設，則
⑴當時，在單調遞增;
⑵當時，，在單調遞減。
故.
解：(1)， 1分
當時，，此時單調遞減
當時，，此時單調遞增 3分
的極小值為 4分
(2)的極小值為1，即在上的最小值為1， ，
令，， 6分
當時，，在上單調遞增 7分
在(1)的條件下，(3)假設存在實數，使()有最小值3，
① 當時，，所以 ， 所以在上單調遞減，
，(舍去)，所以，此時無最小值. 10分
②當時，在上單調遞減，在上單調遞增
，，滿足條件. 11分
③ 當時，，所以，所以在上單調遞減，，(舍去)，所以，此時無最小值.
綜上，存在實數，使得當時有最小值3.14分
(本小題主要考查函數和方程、函數導數、不等式等知識, 考查函數與方程、化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力)
(1) 解:∵, .
∵的一個極值點為, .
. ,
當時, ;當時, ;當時, ;
函數在上單調遞增, 在上單調遞減,在上單調遞增.
∵方程的兩個實根為, 即的兩根為,
.,.
∵ 函數在區(qū)間上是單調的, 區(qū)間只能是區(qū)間,,之一的子區(qū)間.
由于,故.
若,則,與矛盾..
方程的兩根都在區(qū)間上. 6分
令, 的對稱軸為,
則 解得.實數的取值范圍為.
說明:6分至8分的得分點也可以用下面的方法.
∵且函數在區(qū)間上是單調的, 由 即解得. 實數的取值范圍為(2)證明:由(1)可知函數在區(qū)間上單調遞減,
函數在區(qū)間上的最大值為, 最小值為.
∵,
. 10分
令, 則,.
設, 則. ∵, .
.函數在上單調遞增.
..
8、分析(I)這一問主要考查了二次函數根的分布及線性規(guī)劃作可行域的能力。
大部分考生有思路并能夠得分。由題意知方程有兩個根
則有故有
右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點的區(qū)域。
(II)這一問考生不易得分，有一定的區(qū)分度。主要原因是含字母較多，不易找到突破口。此題主要利用消元的手段，消去目標中的，(如果消會較繁瑣)再利用的范圍，并借助(I)中的約束條件得進而求解，有較強的技巧性。
解： 由題意有①又②
消去可得.又，且
9、解：對任意,,,, 所以
對任意的，，
，所以0,
令=，，， 所以
反證法:設存在兩個使得,則
由，得，所以，矛盾，故結論成立。
，所以
+
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