空間中具有大小和方向的量叫做空間向量，下面是空間向量及其運(yùn)算專題訓(xùn)練，請(qǐng)考生及時(shí)練習(xí)。
一、選擇題
1.以下四個(gè)命題中正確的是().
A.空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示
B.若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則{a+b，b+c，c+a}構(gòu)成空間向量的另一組基底
C.ABC為直角三角形的充要條件是=0
D.任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底
解析 若a+b、b+c、c+a為共面向量，則a+b=(b+c)+(c+a)，(1-)a=(-1)b+(+)c，，不可能同時(shí)為1，設(shè)1，則a=b+c，則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量基底矛盾.
答案 B
2.若向量a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，滿足條件(c-a)(2b)=-2，則x= ().
A.-4 B.-2 C.4 D.2
解析 a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，
c-a=(0,0,1-x)，2b=(2,4,2).
(c-a)(2b)=2(1-x)=-2，x=2.
答案 D
3.若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一組向量是().
A.{a，a+b，a-b} B.{b，a+b，a-b}
C.{c，a+b，a-b} D.{a+b，a-b，a+2b}
解析 若c、a+b、a-b共面，則c=(a+b)+m(a-b)=(+m)a+(-m)b，則a、b、c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量的一組基底矛盾，故c，a+b，a-b可構(gòu)成空間向量的一組基底.
答案 C
4.如圖所示，已知空間四邊形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，則cos〈，〉的值為().
A.0 B.
C. D.
解析 設(shè)=a，=b，=c，
由已知條件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，
=a(c-b)=ac-ab=|a||c|-|a||b|=0，cos〈，〉=0.
答案 A5.如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若=a，=b，=c，則下列向量中與相等的向量是().
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.a-b+c
解析 =+=+(-)
=c+(b-a)=-a+b+c.
答案 A.如圖，在大小為45的二面角A-EF-D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是()
A.
B.
C.1
D.
解析 =++，||2=||2+||2+||2+2+2+2=1+1+1-=3-，故||=.答案 D二、填空題
R，向量，且，則
解析 .
答案
8. 在空間四邊形ABCD中，++=________.
解析 如圖，設(shè)=a，=b，=c，
++=a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)=0.
答案 0.已知ABCD-A1B1C1D1為正方體，(++)2=32;(-)=0;向量與向量的夾角是60正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為||.其中正確命題的序號(hào)是________.
解析 由，，，得(++)2=3()2，故正確;中-=，由于AB1A1C，故正確;中A1B與AD1兩異面直線所成角為60，但與的夾角為120，故不正確;中||=0.故也不正確.
答案
10.如圖，空間四邊形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，OAC=45，OAB=60，則OA與BC所成角的余弦值等于________.
解析 設(shè)=a，=b，=c.
OA與BC所成的角為，
=a(c-b)=ac-ab=a(a+)-a(a+)=a2+a-a2-a=24-16.
cos ===.
答案 三、解答題
.已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足=(++).
(1)判斷、、三個(gè)向量是否共面;
(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).
解 (1)由已知++=3 ，
-=(-)+(-)，
即=+=--，
，，共面.
(2)由(1)知，，，共面且基線過同一點(diǎn)M，
四點(diǎn)M，A，B，C共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).
.把邊長為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起成直二面角，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是原正方形的中心，求：
(1)EF的長;
(2)折起后EOF的大小.
如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則A(0，-a,0)，B(a,0,0)，C0，a,0)，D0,0，a)，E0，-a，a)，F(xiàn)(a，a,0).
(1)||2=2+2+2=a2，|EF|=a.
(2)=，=，
=0a++a0=-，
||=，||=，cos〈，〉==-，
EOF=120.
.如圖，已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點(diǎn)，且GMGA=13.求證：B、G、N三點(diǎn)共線.
證明 設(shè)=a，=b，=c，則
=+=+
=-a+(a+b+c)=-a+b+c，
=+=+(+)
=-a+b+c=.
∥，即B、G、N三點(diǎn)共線.
.如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB、AD、CD的中點(diǎn)，計(jì)算：
(1)(2)(3)EG的長;
(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值.
解 設(shè)=a，=b，=c.
則|a|=|b|=|c|=1，〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60，
(1)==c-a，=-a，=b-c，
=(-a)=a2-ac=，
(2)=(c-a)(b-c)
=(bc-ab-c2+ac)=-;
(3)=++=a+b-a+c-b
=-a+b+c，
||2=a2+b2+c2-ab+bc-ca=，則||=.
(4)=b+c，=+=-b+a，
cos〈，〉==-，
由于異面直線所成角的范圍是(0，90]，
所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為.
空間向量及其運(yùn)算專題訓(xùn)練及答案的全部內(nèi)容就是這些，數(shù)學(xué)網(wǎng)預(yù)�？忌梢匀〉脙�(yōu)異的成績。
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